Prin ein a M

gi SPQ, SQR , SRX &c., Si PQS,Q RS, RXS, arquales sunt.

150. Quoniam itaque spira quilibetPQR Z p, p q r z ?! &c. , totidem triangu-lis PQS & pqSi QRS & qrS &c. simi-libus similiterque positis divisa estj spiraeomnes quse ä radio positione dato SP, adeundem radium ducti sunt, inter se simt-les radiisque correspondentibus proportio-nales erunt, id est P S: p 8 —PQRZp : pqrz?r&c. Atque hinc sequitur ( 147) tam spi-ras omnes quam radios ipsis correspon-dentes ad centrum usque in progressionegeometrica decrescere , sunt enim PS, p S,ttS, &c. progressionis geometrica: termi-ni xquidiuantes ob aequalem angulorumaequalium PSQ, QSR, pSq, qSr, &c.numerum in singulis spiris comprehensumunde radiorum quoque differentiae P p, p ar&c. in eadem geometrica progressione de-crescunt.

15 t. Ducta recta PT spiralem tangen-te in P , Si rectä P O ad eandem perpen-diculari > per centrum S erigatur ad ra-dium SP perpendiculum TSO rectis PT& PO occurrens in T & O, longitudospiralis PZpzyrS, ad centrum usque S,aequabitur tangenti PT, eritque proindead radium S P in data ratione PT ad S P,vel O P ad O S. Nam centro S > radiisSQ, SR, SX, S V &c. infinite propinquisdescripti sint arcus circulares QF, R G,XH, VK &c., & ob angulos QFP, RGQ,XHR rectos, angulosque QPF, RQG,XRH &c. aequales (149) , triangula eva-nescentia PFQ.QGR, R HX &c. simi-lia sunt triangulo PST , est igitur PT:PS= PQ:PFrQR:QG=RX:RH &c.& composite PT:PS = PQ + QR + RX&c..;I>F + QG + RH &c. id est, utlongitudo spiralis ad totum radium PS.Quare longitudo spiialis aequatur tangen-ti PT. Est autem ubique tangens PT adradium correspondentem PS, in rationedati , ob triangulum PTS specie datum(149) & ob triangula TPS, POS, (perConstr.) similia, est etiam O P: O S —P T : P S, seu ut longitudo spiralis ad radium.

15;. Hinc quoque patet quod si cen-tro S & radio quotis VS describatur cir-culus secans spiralem in V & radium PS,in I, pars spiralis P V etit ad partem PI,radii PS ut tangens PT ad totum radium P S.Quare si, manendus eiisuiww» radiis -P,

ATHEMATI C A.

14 -;

SI, mutetur utcumque angulus TPS, quem Liberspiralis seu ipsius tangens continet cum Secund.radio P S, longitudo spiralis tota ad Seci. IV.centrum usque S, sicut & longitudo in-ter duos circulos radiis S P, & SI descrip-tos comprehensa, erit ut spiralis tangensP T, seu ut secans anguli TPS. Osten-dimus (151) longitudinem spiralis xqua-lem esse tangenti PT, & partem spiralisPV, inter przdictos circulos contentam,esse ad tangentem P T , in ratione P I adP S , qua: ( per hyp. ) data est i manenteautem radio seu sinu toto PS, est P T se-cans anguli PTS.

1 53. Dicantur radius constans PS :r a, sub- J IS*tangens ST — b, arcus quilibet circuli P Cvel PCLP + PC, vel 1PCLP + PC1x, correspondens spiralis radius S X —y ,qui crescente arcu x decrescit, erit obtriangulorum XKV,PST similitudinemP S: S T — X K : V K , & ob sectores S V K,

S D C similes S K sive S X : S C seuP S = VK : D C, ideoque ex sequo SX:"STzrXK:DC; id eli > y:b~ — dy:dx —

-, hinc sumptis fluentibus x —

— bL.y, & quia ubi x —o, fit y~a> erit

a

Qjz bL.a,Si ided x — bL. a — bL.y — bt.~ j

si itaque datus fuerit radius y cum arcucirculari x, seu angulo P S C dabitur b sub-

tangens anguli spiralis, est enim b=z —•

L -7

Si ver£> datus sit tum arcus * tum subtan-gens b dabitur radius y ; Ponatur enim

L.h=.i & erit ~x L. h — L. -j-*, adeoque

& hinc etiam a —

y X h t ’

154. Hinc si manentibus radiis SP seu

a , Si S V vel SI seu y , adeoque & L. — ,

y'

mutetur utcumque angulus TPS, quem spi-ralis cum radio continet, arcus circularisP D vel x, comprehensus inter radios S P&SVD, erit semper ut subtangens spira-lis S T, seu b, qui, manente radio seu si-na U)tO P S» eft Ut anguli TPS tangens.

155 .