Untersuchung der durch das Integral J'j— ausgedrückteu transcendenten Function.
I Mau hat also
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1.2.3... ,r+*> = ^ * * +1 (~ l f
T =- \ - (1 -L_
1.2.3 ,...r\n « + 1
r(r — 1): 1.2 r(r — l)(r — 2): 1.2.3
w-f2
w + 3
+ ....
folglich den aus der Entwickelung von T entstehenden Coefficienten von
(-lf-
1.2.3. . . .r
Es verwandelt sich demnach die Reihe S' in
Oi “- 1 _ r li “ -1 4 - — _-• 2 i “ _1 — —_. 3/“- 1 +
~ 1.2 1.2.3 '-
I 1 L 4 _C_ a"\ — 4 - a"
n ^ n 2 P U* ^ P
-b — ß"
n 4 r
-b + ß"
n ö 1
+ /3'"| —3/3'"
+ 7/3'"
—15/3'"
+ r
— 6/3 IV
4- 25ß lv
+ ß v
— I0ß v
+ ß VI
und da man oben S =
e -+g€l + z 2 KJ + * 3
e~‘ , A
1++ ^
—g ) -3 jb*
-Ö2 3
— 10 z i
+ *
+ 7* 2
+ 25 2 3 ’
— e .
—15
+ B>
Aetc.
n 6
etc.
fand, so ist, wenn man S = S' setzt, offenbar
ß’ = e~ !ß" = ze~ :ß'" = z*e~ :ß lv = z 3 e~*etc. etc.
folglich allgemein, n mag sein was mau will:
1 Z 1 . Z s 2 S .
TT _ l(n+i) ' ra(« + äj ~ 1.2.3(n + 3) ~1~ - ■ ■
-+ »7.7 +
( n ' «(« + 1) ~ n(n+ l)(w+2) ' ' ' ' ' )
13 .
Diese Transformation führt zu noch einer Bestimm-ung von li.a;. Lässt man nämlich in den eben"ange-führten Reihen n unendlich abnehmen, so wird die obere
— z ■
n 1 1.2.2
und die ihr gleichgültige
--4— - —i-etc
1 . 2 . 3.8 ~ 1 . 2 . 3 . 4.4
z j
ra+ixi+i^ + • • • • •••}*>
Es folgt hieraus
! _|-L .—
~ 1.2.2 1.2.3.3 ~ 1.
2.3.4.4
*) Für ein unendlich kleines n ist T (12)
= -*-•{* + * 3 + • • • •}
. 1 + i +A 4 • • • • 4 —
1.2.8.... r.»|l + (l+*+*+....+-j|)„) 1-
2.3.... r. n
1.2.3_ r
Entwickelt man es dagegen nach der Zerfiillung inFactoren, so hat man aus einer Vergleichung mit dem hier gefundenen Werthe
l+i + 4 +--- +
f »—1 . (r—!)(>• —2): 1.2 (r — l)(r — 2)(r— 3): 1,2,3
■r 1 -
-....+
bCl
Es folgt hieraus, dass die harmonische Reihe l+i + i + ....+ ->durch r dividirt, die erste (r —1) Differenz der Reihe 1, b,
b, b , .,.. ist; jedoch für ein gerades r mit verkehrtem Zeichen
genommen. Auch gibt diese Umformung der harmonischenReihe eine Bestimmung der Art. 2 erwähnten Constante. Es istnämlich, wenn li.O verschwinden soll,
0 = C + 1.1* - 1* + Ä _ Jgl +....
Bksskl’b Abhandlungen. 2. Bd.
für ein unendlich grosses 1*, welches wir durch in bezeichnenwollen, oder
1 |~von *=-01
(7 = l ,n — J “ d* |_bis x = t»J
( x \ m
1 + —j = e x \ allein selbstfür ein unendliches x, wenn dieses nur kleiner ist als 2 m (sodass 1 —— ein eigentlicher Bruch ist, dessen unendlichste Po-
tenz = 0), hat man
(-*)"
■ e x , folglich:
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