Beweis des Moivre’scken Satzes. — Attraction eines Parallelepipedums.

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110. Beweis des Moivre’sehen Satzes. *)

(Briefwechsel mit Oi.hkrs I, p. 265.)

. . . . Einiges Vergnügen hat mir vor einigen Tagenein kleiner mathematischer Fund gemacht, der sichmir bei meinen Vorlesungen darbot. Der berühmteSatz ^

(cosa + V—1 sin«)“ = cosw« + V—1 sin naist namlicli in der gemeinen Algebra und Trigonometriebegründet, und man darf dabei nicht an das Unendlichedenken. Es ist cos a l -}- sin a 2 = 1, folglich

(cos a + Y~~ 1 sin a) (cos n — ]/— 1 sin a) = 1

= (cos a + V — 1 sin a) n (cos a — ]/— 1 sin d) n , undebenso 1 = (cosna Y —lsin«a)(cos«a— Y —isiima),oder

(cos a-\~y — 1 sin aV|

Y — 1 sin na

■■N

cos n a + y — 1 sin n a (cos a — y — 1 sin a) n

Man multiiilicire nun Zähler und Nenner mitcos« + sin a)/—1, so hat mau

(cos a -(- y — 1 sin a)™- 1

N=

cos (n +1) a + V— 1 ,sin(n;fcl)a(cos a -f- y — 1 sin a)"- 2

=. . . . etc.

cos (n + 2)a + y— 1 sin (n + 2) aWenn n nun eine ganze Zahl ist, so findet manunter diesen Ausdrücken von N einige, wo w + r=l,0, — 1... . ist; für diese ist N = 1, also allgemein,

wenn n eine ganze Zahl

(cos a -f- Y — 1 sin a) n = cos a n -f- ]/ — 1 sin anebenso

(cos i a + V- 1 sin^-a) n = cos a +y-i sin aoder

cos i ff + Y — 1 s i n ~ a — ( cos a + V — 1 sin a) » 'Man setze nun a = tnb, so hat man

cos + V — 1 sin —& = (cos mb + V — 1 sin»»&)«■■;

allein für ein ganzes m ist

(cos b ]/— 1 sin b) m = cos mb + ]/— 1 sin mb\

also

cos

b + Y — 1 sin — b = (cos b + V — 1 sin b )«.Der Satz ist also allgemein gefunden,

mag sein

was man will; selbst irrational kann der Exponent sein,da man ihn immer als den Quotienten zweier rationalenZahlen betrachten kann. Ich weiss nicht, ob man ausdiesem Ausdrucke auch die Reihe für den Bogen a,durch seine Tangente ausgedrückt, hergeleitet hat; erenthält ihn in der That, denn wenn man

i i

1 (cos a + y — 1 sin a) * — (cos a — V — 1 sin a) n

sin — a= - - -A =r-

n 2 ]/—-T

für ein unendlich grosses n entwickelt, so kommta — tg a -tg n 3 +. . . etc.

Ueberhaupt muss dieser Ausdruck Alles enthalten,was auf den Kreis Bezug hat, ohne dass man denähnlichen

c±<*V—i == cos<z + Y —1 sinö,

der offenbar durch Hyperbel und Logarithmen führt,mit welchen die Lehre vom Kreise nichts zu thun hat,anweriden dürfte. Man findet diesen zweiten Satz leichtaus dem ersten, wenn man als bekannt voraussetzt,dass das erste Glied von 1 (1 + a), a ist; denn man hat

(cos 1 a + Y — 1 sin 1 a) n — cos a + Y — 1

sin a

n \(cos — a + V — 1 ~ a) = 1 (cosa+ Y — 1 sina)und wenn n unendlich gross

+ aY —t — l(cosa + y

oder

o + y — l.a

1 sinn)cos a + Y — 1 s i u a -

111. Attraction eines l'araHelepipeduins.**)

(Mon. Corresp. XXVII. p. 82. — Aus einem Briefe an Lindenau vom 30. Oct. 1812.1

.Ich habe die Aufgabe, die Attraction eines Par-allelepipedums auf ein anderes, ihm nach zwei Dimen-

*) [Aus einem Briefe an Oi.heks vom 12. Jan. 1811.]**) [Aus 85 d. a. Verz. — Br. m. 0. I. 344.]

Ressbi/s Abhandlungen. 2. Bd.

sionen gleiches, und nach der dritten durch paralleleEbenen getrenntes, zu bestimmen, aufgelöst und folgendeAusdrücke gefunden:

Rechnet man die rechtwinkligen Ooordinaten x, y, geines Theilcl\ens des anziehenden Parallelepipedums von

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