Ueber eine Aufgabe der praktischen Geometrie.
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112. Ueber eine Aufgabe der praktischen Geometrie.*)
(Mon. Corresp. XXVII, p. 222.)
Die Aufgabe, über welche ich mir erlaube nocheinige Worte zu sagen, betrifft die Bestimmung der Lageeines Punkts, von welchem man drei andere, ihrer Lagenach bekannte sehen, und die Winkel zwischen ihnenmessen kann. Sie ist ohne Zweifel sehr nutzbar, unddeshalb auch von mehreren Mathematikern betrach-tet. — Die für den wirklichen Gebrauch bequemsteAuflösung gab Bukckiiabdt im IV. Bande dieser Zeit-schrift S. 359. Allein noch anwendbarer würde eineAuflösung sein, die unmittelbar aus den bekanntenrechtwinkligen Coordinaten der drei gegebenen Punktedie des vierten Anden lehrte; alsdann würde man siemit Bequemlichkeit und ohne Umwege zur Entwertungdes nach den Weltgegenden orientirten Plans einer Ge-•gend, in welcher drei Punkte ihrer Lage gegen denMeridian nach bekannt sind, gebrauchen können.
In der That findet man leicht eine geschmeidigeAuflösung der so gefassten Aufgabe. Nennt man dieCoordinaten dreier Punkte, auf beliebige senkrecht aufeinander stehende Axen in der Ebene des Horizonts,s, x, x" und y, y', y”\ die des vierten X und V; dieWinkel, welche die Abscissenlinie mit den von demvierten Punkte nach den drei bekannten gezogenen Li-nien macht, «, a": so werden die Unterschiede
dieser drei Winkel als durch die Beobachtung gegeben,und die Coordinaten der drei ersten Punkte als bekanntvorausgesetzt und man hat folgende nur drei Unbekannteenthaltende, also das Problem vollständig bestimmendeGleichungen:
(,x — X) sin u = (y — Y) cos «
(x’ — X) sin «'=(?/' — Y) cos «' |.(1)
(pc "— X) sin cc”= {y"— Y ) cos «"
Multiplicirt man diese Gleichungen mit
+
— cos « — cos a
-f- cos « 0
0 -f- cos a
und addirt, so hat man
(x — X)sin(«' — a) — cos a[(y — y) cos u — (x — x) sin«' ](x —X)sin(a"—«) = cos «[(«/”—«/)cos«"— (x" — x) sin«"]oder wenn man zwei Hülfswinkel A und B einführt,so dass
y —y
(x — X) = (*'-
= (y-
0 - x) = 0"
cos
a
sin (A —
<*')
sin
(«'
—
a)
cos A
cos
oc
sin (A —
«')
sin
(«'
—
«)
sin A
cos
(X
sin {B —
O
sin
(«"
—
a)
cos B
cos
cc
sin (B —
«")
sin
(«
—
«)
sin B
( 2 )
Durch Division dieser beiden Gleichungen erhält mandie folgende:
sin (.4— k') x" —x sin (a — a) cos A
sin (B -
x
’ x'
.7
'7
■ x sin (a — «) cos B
■ y sin (a — a) sin A
■ y sin (a "— a) sin B
.(3)
und wenn man den rechts stehenden ganz bekanntenTheil = tg N setzt, nach einer sich von selbst darbie-tenden trigonometrischen Transformation:
tg + «'-«"] =
= tg (45° + N)tg±[li-A- («"-«')]...(4)
Hieraus findet man die in (2) vorkommenden Winkel,nämlich:
« — ^ [A —|— Jtf — « — « ] — ^ (B “I“ A ■A — «' = ^[A-f B — «'— «"J — \[B — A-B — a"= {[4-f £ - a — «"] + i[ü — A-
damit aus (2) x — X und aus (1) y — U.
Die Rechnung lässt sich also nach folgenden For-meln führen:
-(«”— «) — (a'-
-(«"-«')]
-(«"-«')]
■«)]
.(5)
■A t«71 ='
■y
■ X
*) [88 d. a. Verz.Aufgabe.]
Br. m. 0. I. 344. — Pothenot’sche
B'=
sin (a'— a) cos A sin (a'— a) sin A
. . . y y _
sin(a "— a) sin B
sin (a — «) cos B
^ .
2m = A — ( ’a' —a); 2 ntg e = tg (45° -f N) tg (n -
(3)
= B■m)
(a"— a)
(4)