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V. Mathematik.
wiederholt gemessen, und bemerkte, als ich die Beob-achtungen unter einander verglich, dass grössere posi-tive oder negative Abweichungen von dem mittlerenResultate der Messungen häufiger vorkamen als kleinere;was sowohl der Hypothese, auf welcher die Methodeder kleinsten Quadrate beruhet, als der gewöhnlichenErfahrung widersprach. Ich konnte nicht zweifeln,dass in diesem Falle ein ganz anderes Gesetz der Wahr-scheinlichkeit der Fehler stattlinden müsse, und fandwirklich hei einer hierdurch veranlassten näheren Prüf-ung des Apparats, dass die Mikrometerschraube, in demUmfange jeder ganzen Drehung, sich nicht den An-gaben ihrer Trommel proportional fortbewegte, aber inverschiedenen Drehungen wiederkehrende, dem Sinussedes von einem gewissen Anfangspunkte an gezähltenDrehungswinkels proportionale Ungleichheiten zeigte.Dieser Fall entsprach also dem Beispiele. Als ich dieerkannte Fehlerursache durch Rechnung beseitigte,hatte ich das Vergnügen, meine Messungen in sehrbefriedigender Uebereinstimmung. zu finden; worausalso hervorging, dass der Apparat nur geringe sonstigeFehlerursachen besass.
Das zweite Beispiel soll die Annahme
x =
verfolgen, und jeder zwischen den Grenzen — a und aliegende Werth von § soll gleich möglich sein. DieFormeln (1), (2) und (3) ergeben in diesem Falle:
<px = _, cp x — —, mm — $aacr.
4 ayax
Die Formel (4) ergibt die Gleichung:
Ä a
lh<n = {-Ihäi-
e '
ü 0
oder K ' = \ « !1
und man erhält dadurch:
mk = ; /.• = 3
y i p4
Beobachtungen dieser Art ergeben die wahrscheinlich-
sten Wertlie der Elemente, wenn man in den Gleich-ungen (&)
setzt; in dem einfachsten Falle, in welchem eine immergleiche Grösse p durch die Beobachtungenp — h, h’, h" ... 7j ( w)
bestimmt werden soll, folgt also p aus der Auflösungder Gleichung:
0= 1 - _l-ri_'
h-p^h'-p^ ^ hM-p
oder, wenn man das Product
Qi—p) Qi' — p) Qi" — p) ... (/<(")— p)
durch P bezeichnet, aus der Auflösung der Gleichungdes n teu Grades:
Das Verhältniss des mittleren Fehlers zum wahrschein-lichen ist —Y4:]/ö= 1: 1,409.
Dieses Beispiel ist eins von denen, in welchen mannicht zu der Bestimmung von p, sondern zu der Be-stimmung einer davon verschiedenen Grenze gelangt,nämlich der Grenze p -j- fxcpx äx ; man gelangt zwarimmer nur zu einer Grenze, welche diesen Ausdruckhat, allein wenn cp( — x) — cpx ist, so ist sie von pnicht verschieden, was hier, wo alle x gleiches Zeichenhaben, nicht stattfindet. In dem gegenwärtigen Falleerhält man die Grenze
«
= P + ~~ = P +
— a
Das Quadrat des mittleren, auf diese Grenze bezogenenFehlers ist bekanntlich*)
= mm — aa « 4 = Q. aaund den wahrscheinlichen Fehler findet man
= aaa = 0,260 . aaa.
Wenn das die Methode der kleinsten Quadrate ergebendeFehlergesetz auch hier angewandt werden sollte, wurdeman ihn = 0,6745 ]/^ 6 . a a a = 0,201 .aaa finden.
Es ist nicht schwer, auch diesem Beispiele unter-geordnete Fälle, welche wirklich Vorkommen können,aufzufinden. Einer von ihnen ist vorhanden, wenn dieLänge einer Stange, welche eine kugelförmig gekrümmteEndfläche hat, auf einem mikrometrischen Apparate ge-messen werden soll, welcher den Fehler hat, dass derMittelpunkt der kugelförmigen Fläche nicht sicher indie gerade Linie zwischen der Mikrometerspitze unddem Punkte, von welchem an die Länge gezählt wird,gebracht werden, sondern innerhalb der Grenzen — aund a willkürlich davon entfernt sein kann. Bezeichnetman den Halbmesser der Kugelfläche durch r, so ist,
*) ÖAUS8, Theoria coinbin. observationum etc. Gottingae1823, p. 7. — Wenn man nicht den wahrscheinlichsten Werthdieser Grenze, sondern von p selbst verlangt, so ist es offenbarder, von welchem die Beobachtungen, sämmtlich mit dem Zei-chen von a, am wenigsten abweichen; also entweder derkleinste oder der grösste der beobachteten Wertlie.