der durch die (.iauss’sche Reihe i' («, ß, y, x) darstellbaren Functionen. 69

4.

Die so eben gemachte Bemerkung bahnt den \\ eg zu dem Satze,dass in zwei P-functionen mit gleichen Exponenten die denselben Ex-ponenten entsprechenden Bestandteile sich nur durch einen constantenFactor unterscheiden.

In der That, ist 1\ eine Function mit denselben Exponenten wieP, so kann man die fünf Grössen ap, cip, u y , a 7 und a p bei beidengleich annehmen und dann müssen auch die Grössen «'*■, ß y , ß ■/ beibeiden übereinstimmen. Man hat also gleichzeitig:

(P', P'Q = (b) (7V, P?) = (c) (P>', P>")

und

(e) W, IV)

(b) {1\?, P/)

(P,“, PV)

folglich

Pr'PS).

Pf ]>S) = Det(c) (P‘ P l

P“ Ps ) = I )et (b) (P? P, ?

Von diesen drei Ausdrücken bleibt der erste, mit X~ a ~ a multiplicirt,offenbar für x = 0 einiindrig und endlich; ebenso der zweite, mitxP+if — —r —y'+ l multiplicirt, für x = oo, der dritte, mit

(t -x)~r-r' multiplicirt, für x=\, und dasselbe gilt von allen dreiAusdrücken für alle von 0, oc, 1 verschiedenen Werthe von x\ es istdaher

( P“ P«' — P“ P«) x-“-“' (\—x)~r-r'

eine allenthalben stetige und einändrige Function, also eine Constante.Sie ist ferner = 0 für x = oo und muss folglich allenthalben = 0 sein.Hieraus folgt

j,a ]\a

j,u 1>u

ct[i P / -f- r< / /'

iV+«,V l

!>? + «■/

ist demnach einwerthig und muss überdies allent

Function

halben endlich, also, w. z. b. ist, constant sein, wenn noch bewiesenwird, dass P" und P“ nicht zugleich für einen von 0, 1, oo verschie-denen Werth von x verschwinden können.

Zu diesem Ende bemerke man, dass

dx dx