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Persönlichkeiten, die wir nur aus diesem einzigen Citate kennen.An bestimmten Zahlenbeispielen können wir am deutlichsten mitdem Wesen der 10 Proportionen uns bekannt machen. Es bildendie drei Zahlen ci, ß, y
die 1. Proportion « — ß = ß — y wenn « = 3 ß = 2 y = 1
3.
4 .f>.( 5 .
7.
8 .
9.
10 .
a : ß = ß : yu : y = (« — ß) : (ß - y)
« = r=(ß — r) : (« — ß)ß ■ v = (ß — y) ■ (« — ß)
u : ß = (ß — y): (a — ß)n : y = (« — y) : (ß — y)
« : y = 0 — y) : (« — ß)
ß ; y = (« — y) : (ß - y)ß : y = (« - y): (« — ß)
«==1 ß = 2 y = 4« — 6 ß — 4 y — 3« = (i ß = i) y = 3« == 5 ß — 4 y — 2« = 0 ß = 4 y = 1« = 9 ß =8 y = G« = 9 ß—l y = G«=7 ß = 6 y = 4« = 8 /t=5 y = 3
Uns Neueren erscheint es gar verwunderlich, dass die (Iriechenalle diese Fälle unterschieden, mit deren sieben letzten im Grossenund Ganzen gar Nichts geleistet ist, dass sie in der Erfindung der-selben Etwas hinlänglich Bedeutendes erkennen, um die Namenderer aufzubewahren, von welchen jene Leistung herrührt. Wirwerden in die griechische Stufenleiter der Werthschätzung uns hinein-fiuden können, wenn wir zweierlei erwägen. Erstens, dass eine grosseZahlengewandtheit dazu gehörte sämmtliche zehn Verhältnisse ganz-zahlig zu erfüllen, zweitens dass die aus vier von einander verschie-denen Zahlen gebildete geometrische Proportion mit den aus ihr ab-zuleitenden für die Griechen bis zu einem gewissen Grade dieGleichungen und deren Umformung ersetzte. Die Folgerung von
a : ß — y : d auf (« -j- ß) : ß — (y -j- d) : d
z. B. spielt bei den Griechen fortdauernd die allerbedeutsamste Bolle.Stetige Proportionen hatten zur Kenntniss der arithmetischen, dergeometrischen Reihen, jene wieder zur Kenntniss der vieleckigenZahlen geführt. Was Wunder, dass man weiter experimentirte, dassman immer neue Verbindungen gleicher Verhältnisse zwischen Zahlenaufsuchte, welche selbst aus drei gegebenen Zahlen additiv oder sub-traktiv zusammengesetzt waren? Solche neue Proportionen konntenzu neuen wichtigen Entdeckungen Gelegenheit geben, und thaten siees nicht, so boten sie nur ein Beispiel, wie es deren in der Geschichtealler Wissenschaften gibt, dass Untersuchungen mit hochgespanntenHoffnungen und Erwartungen begonnen sich allmälig als unfruchtbarerwiesen.
Eudoxus , sagt uns das Verzeichniss noch, führte weiter aus,was von Platon über den Schnitt begonnen worden war, wobei ersich der analytischen Methode bediente. Der Schnitt, r\ rojarj, überwelchen Untersuchungen von Platon begonnen worden waren, muss,