Archiraedes und dessen geometrische Leistungen.

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= 30(3 : 153. Die beiden Verhältnisse vereinigt geben folglich (»■ -j- a)> 571 : 153. Nun kommt eine kleine geometrische Betrachtung.

Wenn (Figur 47) die AA den Winkel RAT halbirt ; so ist AB : AT= BA : AI\ {AB + Al') : AT= {BA + AT)

: AV oder (« -(- >•) : r = -- : A F Aus dieser

Proportion folgt weiter r \ AV = (r -|- a) : ^

> 571 : 153. Dieses Ergebniss zu nachherigerBenutzung aufsparend folgert Archimed weiterr 2 : A n > 571 2 :153 2 und (V 2 -{-AH): A r 2 > (571 2+ 153 2 ): 153 3 oder^z/ 2 :AV l > 349 450 : 153 2 und

Kig. 47.

AA : Ar > 591 -i- : 153. Auch diese Zahlen sind richtig gewählt,denn (091—) —349 428^ < 349450. Der Winkel A AT wird durch

die AE halbirt. Dadurcli gewinnt man neue Proportionen AA:AV= AE : El', dann {A A + A F) : A T = {AE + ET): ET und{AA + Ar):[AE+EF) = Ar: EI) d. h. (r -f- AA) : A T—r : EV.Nun erinnern wir uns an

r:AT> 571 : 153

nebst .

AA : AT> 591 a : 153.

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Die Vereinigung beider Verhältnisse gibt {r -f AA) : AT> 11G2- : 153

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oder auch r : ET > 1162^ : 153.

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Die gewonnenen Ergebnisse stellen wir übersichtlicher zusammen:)':ßr> 265 : 153r : AT > 571 : 153

»•: ET > 11624 : 153.

BI' ist die halbe Sechsecksseite, AT die halbe Zwölfecksseite, Er diehalbe Yieruudzwauzigecksseite, wenn immer die regelmässigen demKreise umschriebenen Vielecke gemeint sind. Die Umfange U G ’, U^',U 2 / dieser Vielecke sind Z7,/ = 12 B F, r,,' = 24 B f/ 24 ' = 48 BI'und somit

r : U G > 265 : 1836r : U > 571 : 3672

r : U n ' > 11621:7344.

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Archimed setzt nun das Verfahren mit Winkelhalbirung, Verbindungvon \ erhältnissen, Einsetzen von nahezu richtigen, aber immer etwaszu kleinen Quadratwurzelwertheu fort bis zu

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