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Kapitel XIV.

Parallellinien, ein viertes den Dreiecken gewidmet, letzteresmöglicherweise auch unter anderem Titel noch genannt. Auch Datenund Definitionen soll Archimed in einem Buche vereinigt haben.

Unter dem, was der Verfasser für die Geometrie des Raumesleistete, ist zunächst eine Untersuchung zu erwähnen, von der wirnicht einmal wissen, bei welcher Gelegenheit und in welchem Zu-sammenhänge er sie angestellt hat. Die Untersuchung selbst dagegenist von Pappus, dem einzigen Schriftsteller, der von ihr spricht, mitgenügender Deutlichkeit geschildert 1 ), dass man nach ihm darüberberichten kann. Euklid hatte die Lehre von den fünf einzigen regel-mässigen Körpern erschöpfend behandelt. Archimed erfand zu ihnen13 halbregelmässige Körper, welche durch regelmässige Viel-ecke von mehr als nur einer Gattung begrenzt werden. Der Anzahlnach können 8, 14, 26, 32, 38, 62 oder 92 Grenzflächen vorhandensein. Der Art nach sind es 3ecke, 4ecke, öecke, 6ecke, 8ecke, lOeckeund 12ecke, welche auftreten. Bei 10 von den archimedischenKörpern sind nur Flächen zweierlei Art, bei den 3 übrigen dreierleiFlächen vorhanden. Kein geringerer Mathematiker als Keppler 2 ) hatzuerst nach Archimed seine Aufmerksamheit diesem Gegenständewieder zugewandt, worauf aufs Neue eine zweihundertjährige Pauseeintrat, bis seit Anfang des XIX. S. die halbregelmässigen VielflächnerEigenthum der elementaren Stereometrie geworden sind.

Archimed selbst stellte von allen seinen Entdeckungen diejenigenam Höchsten, welche er in den zwei Büchern von der Kugel unddem Cylinder niedergelegt hat. Es handelt sich darin um denBeweis von drei neuen Sätzen 3 ): 1. dass die Oberfläche einer Kugeldem Vierfachen ihres grössten Kreises gleich sei; 2. dass die Ober-fläche eines Kugelabschnittes (die Kugelcalotte) so gross sei als einKreis, dessen Halbmesser einer geraden Linie vom Scheitel des Ab-schnittes bis an den Umfang des Grundkreises gleich sei; 3. dassm der Cylinder, welcher zur Grundfläche einen grössten Kreis derKugel habe, zur Höhe aber den Durchmesser der Kugel, mit anderenV orten der der Kugel umschriebene Cylinder, anderthalb mal sogross sei als die Kugel, und dass auch seine Oberfläche das Andert-halbfache der Kugeloberfläche sei. Dass Archimed grade auf diese Sätzeeinen wohlberechtigten Stolz empfand, geht daraus hervor, dass erdie Kugel mit dem sie umgebenden Cylinder auf seinen Grabsteineingemeiselt wünschte, und dass es grade diese Figur war, an welcherCicero die Begräbnisstätte des grossen Mannes erkannte. DieselbeFigur erhielt sich, offenbar zum Gedächtnisse Archimeds, auf Münzender Stadt Syrakus .

’) Pappus V (ed. Hultsch) 350 sqq. *) In der Ilarmonice mundi.3 ) Archimed (ed. Torelli) 63, (ed. Nizze) 42.