Höhere Rechenkunst. Algebra.

531

auch ( 2ax -f- bj 1 = 4«c + V und x = ^ iac Die Ergänzung

des quadratischen Theiles, welche in Wirklichkeit dahin führt statteines quadratischen Gliedes und eines Gliedes mit der ersten Potenzder Unbekannten nur das Quadrat eines Binoms ersten Grades alsunbekannt aber bestimmungsfähig zu erhalten, wird seit Brahmagupta „Wegschaffu ng des mittleren Gliedes,“ madhyama haranam,genannt.. 1 )

Der wichtigste Fortschritt, welchen die Lehre von den unreinenquadratischen Gleichungen schon bei Brahmagupta vollzogen hat, be-steht aber darin, dass die drei verschiedenen Formen (S. 403)ax 2 l x — c, bx -j- c — ax 2 , ax 2 -j- c — bc verschwunden sind,wie es vermöge der Gewohnheit mit negativen Zahlen zu rechnengestattet war.

Nun ist Bliäskara noch wesentlich über Brahmagupta hinaus-gegangen. Er kennt die bei den Quadratwurzeln sich ergebendenDoppelsinnigkeiten und Unmöglichkeiten. Er fasst sie indie Regel: 2 ) „Das Quadrat einer positiven wie einer negativen Zahl istpositiv, und die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl ist zwiefach,positiv und negativ. Es gibt keine Quadratwurzel aus einer negativenZahl, denn diese ist kein Quadrat.“ Dem entsprechend kennt er diepaarweise auftretenden Wurzeln einer quadratischen Gleichung, gibt sieaber aus dem oben angegebenen Grund, dass „absolute negative Zahlenvon den Leuten nicht gebilligt werden“, nur dann an, wenn beide Wurzel-werthe positiv ausfallen und keinen Durchgang durch ein Negativesvoraussetzen; er folge dabei Padmauäbha. 3 ) Folgende Beispiele mögendie Meinung der einschränkenden Klausel erläutern. 4 ) „Der 8. Theileiner ileerde Affen ins Quadrat erhoben hüpfte in einem Haine herumund erfreute sich au dem Spiele, die 12 übrigen sah man auf einemHügel mit einander schwatzen. Wie stark war die Heerde?“ Hiergibt es zwei Auflösungen : 48 und 16. „Das Quadrat des um 3 ver-minderten 5. Theil einer Heerde Affen war in einer Grotte verborgen,1 Affe war sichtbar, der auf einen Baum geklettert war. Wie vielewaren es im Ganzen?“ Bliäskara sagt 50 oder 5, aber der zweiteWurzelwerth dürfe nicht genommen werden. Ein Commentator er-klärt uns, wie das gemeint sei. Man könne den 5. Theil von 5,oder 1, nicht um 3 vermindern, ohne dass, wenn auch nur vorüber-gehenderweise, die absolute negative Zahl — 2 auftrete.

Bliäskara hat auch an anderer Stelle 5 ) gezeigt, wie mit Hilfe

der Formel J/ a -\-Yb = ^ a ~ ~ -- Quadratwur-

') L. Rodet, L’algebre d'Alkärizmi pag. 7fi. *) Colebrooke pag 135.3 ) Ebenda pag. 218, § U2. 4 ) Ebenda pag. 215—217. 5 ) Ebenda pag. 119 -155.

Die Bemerkung über falsche Ergebnisse pag. 155, § 51.

34 *