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Kapitel XXXV.
der Aussage des Maximus Planudes (S. 520) aber ohne unmittelbareBestätigung durch einen der indischen Schriftsteller, welche uns be-kannt sind, eben diese I’robe als indisch zu erweisen. Man kannauch auf eben diese Stellen sich beziehen um die Keuntniss quadrati-scher und kubischer Reste bei den Indern zu bestätigen. Offenbarsagt nämlich Avicenna zuerst Nichts anderes als was wir in modernenZeichen (9 n + l) 2 = 1, (9» + 2)* — 4, (9h + 3) 2 — (9» + 9) 2 == 9,(9n -j- 4) 2 7 immer für den Modulus 9 schreiben würden; und in
der zweiten Stelle sind nach den gleichen Modulus 9 die Congruenzenenthalten
(9h -f- l) 3 vj (9n -f 4) 3 = (9n + 7) 3 3 = 1, (9h -f 8) 3 = (9h -f 2) 3- (9 h + 5) 3 - 8, (9h + 3) 3 ^ (9 h -f 6) 3 = (9 h + 9) 3 == 9.
Zurückverweisung nach Indien wird uns auch bei Albirüni ge-wiss nicht in Erstaunen setzen, der ein Zeitgenosse des Avicenna lange Reisen in Indien , wie wir wissen (S. 609), gemacht hat.Albirüni nimmt gegen die bisher besprochenen Persönlichkeiten ins-gesammt eine Ausnahmestellung ein. Er gehörte nämlich nicht zuden gelehrten llofkreisen von Bagdad , sondern ruhte in Gazna vonseinen Reisen, am Hofe des kunstsinnigen Fürsten Mahmud desGaznawiden, der an Machtfülle wie an Fürsoge für die Wissenschaftenmit den Herrschern von Bagdad wetteiferte. Albirüni hat in seinerChronologie ganz gelegentlich die Summe der geometrischen Schach-felderprogression, die mit 1 beginnend auf jedem folgenden FeldeVerdopplung vorschreibt, angegeben 1 ) als Beispiel, wie inan eine unddieselbe Zahl, um jeden Irrthum unmöglich zu machen, in drei ver-schiedenen Arten niederschreiben könne: mit indischen Ziffern, um-gerechnet in das Sexagesimalsystem und durch die hurüf aldschummaloder (S. 608) Buchstaben mit Zahlenwerth. Jene Zahl sei(((16 2 ) 2 ) 2 ) 2 — 1 und betrage 18 446 744 073 709 551 619. Mantinde sie nach folgenden beiden Regeln. Erstens. Das Quadratder Zahl eines von den 64 Feldern ist gleich der Zahl des Feldes,welches von dem vorgenannten eben so weit entfernt ist als jenesvon dem ersten. Ist also 16 die Zahl des 5. Feldes, so muss16 2 = 256 die Zahl des 9. Feldes sein wegen 9 — 5 = 5 — 1.Zweitens. Die um 1 verringerte Zahl eines Feldes ist die Summeder Zahlen der vorhergehenden Felder. Wenn 32 die Zahl des6. Feldes ist, so muss 31 die Summe der Zahleil der 5 früherenFelder sein, oder .31 = l -f- 2 -(- 4 -f- 8 -f- 16. In einem anderenWerke, dem Buche der Ziffern kommt Albirüni auf den gleichenGegenstand zu reden und lehrt die Berechnung nach einem Kunst-