Zahleniheoretiker, Hechner, geometrische Algebraiker v. 950 etwa bis 1100. 6ö‘J

Alkarcln hat auch Mancherlei, was bei ihm zuerst unseren Blickensich darbietet und vielleicht seiner eigenen Erfindung angehört. Ei-benutzt neben der Neunerprobe eine Elferprobe.') Er nimmt alsangenäberte Quadratwurzel für y ä*-j-r, wo der Rest r übrig bleibtnachdem die nächste Quadratzahl abgezogen wurde, mithin jeden-falls r < 2a + 1 ist, den Werth «4- . r . Er hat unter den

geometrischen Rechenbeispielen Formeln, ’) welche zwar an heronischeBeispiele etwas erinnern, aber doch nicht mit denselben zur Deckungzu bringen sind, oder sich aus ihnen ableiten lassen. 3 )

Die ganze Bedeutsamkeit des Mannes, mit welchem wir uns be-schäftigen, tritt in seinem zweiten Werke, im Al-Fachri, hervor, inwelchem er andrerseits auch wieder als unbedingten bewunderndenSchüler der Griechen, insbesondere des Diophant sich erweist, welchletzterer an häufigen Stellen mit Namen erwähnt ist. Al-Fachribesteht selbst aus zwei Abtheilungen, einer ersten welche die Theorie,wenn man so sagen darf, enthält, nämlich die Lehre vom algebraischenRechnen und die Auflösungen sowohl bestimmter als unbestimmterGleichungen, und einer zweiten welche eine Aufgabensammlung darstellt.In beiden Abtheilungen finden wir, wie gesagt, Diophant in umfassendsterWeise benutzt, aber in beiden Abtheilungeu auch Dinge, welcheüber Diophant hinausgehen. Indische Methoden zur Auflösung derunbestimmten Gleichungen ersten wie zweiten Grades wird man da-gegen vergebens suchen.

Diophant hat z. B. Namen der 2. bis zur 0. Potenz der Unbe-kannten additiv aus dvva^ug und xvßo g zusammengesetzt. Ganzähnlich verfährt Alkarchi, dem mul das Quadrat der Unbekannten —mitunter auch allerdings irgend eine Grösse 4 ) — bezeichnet, la’b denWürfel und daun weiter durch sich regelmässig wiederholende Additionmal mal, mal lab, lab lab, mal mal lab, mal lab lab, lab lab labu. s. w. ins Unendliche die folgenden Potenzen der Unbekannten.Alkarchi lehrt das Rechnen mit solchen allgemeinen Grössen, zuwelchen genau so wie bei Diophant auch die Brüche mit der 2., 3.,u. s. w. Potenz der Unbekannten als Nenner treten, in ausführlicherund klarster Weise. Diophant hat solches Rechnen mehr voraus-gesetzt als gelehrt. Alkarcln behandelt nach den Rechnungsverfahrenan den Potenzen der Unbekannten oder den ihnen inversen Aus-drücken auch Irrationalitäten. 5 ) Freilich bleibt er hier bei den ein-fachsten Fällen stehen und nähert sich nicht von Weitem den von

') Kfift fit hisäb 1, 9. * 2 ) Ebenda IT, 14. 3 ) Ebenda II, 24, 25, 26, 28 die

Formeln für Kreissegmente, für Kreisbögen, für die Durchmesser des Um- und

des Innenkreises regelmässiger Vielecke, für den Körperinhalt der Kugel.

4 ) Fakhri 48. *) Ebenda 57—59.

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