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Kapitel XXXV.
den Indern auf diesem Felde erzielten Ergebnissen, sodass man nicht nötliighat, an einen fremden Einfluss zu denken, um das Vorkommen vonGleichungen wie j/8 -f-j/18 =j/50 oder |/f)4 — f/2 =f/\G zu er-klären. Ein weiterer Abschnitt beschäftigt sich mit Reihensuinmirungen. 1 )Die hier auftretenden Sätze sind Alkarchi offenbar von anderer Seitezugegangen, und er hat nur für manche derselben Beweise geliefert,sei es algebraische, sei es geometrische, für manche künftige Beweiseversprochen, ein Versprechen welches er in einem Commentare zumAl-Fachri zu lösen gedachte, den er selbst zu schreiben beabsichtigte. 2 )Der fremde Ursprung der Summenformeln geht z. B. unzweifelhaftaus der Summirung der Quadratzahlen l 2 -)- 2 2 —f- -)— - - - —(— >* 2 =
(1 -f- 2 -f- 3 -f- • • • + r ) ("! r + y) hervor, welche Alkarchi mittheilt,
aber nicht beweisen zu können eingestellt. Als Anhaltspunkt zurBeantwortung der Frage nach der Ileimath dieser Formel, weisen
wir darauf hin dass es genügt 1 -J-2 —f-3••• -\-r — - - zu setzen,
um
1f
sofoit l 2 -|-2 2 + 3 2 + •• -fr 2 = (^- -f- g) (»' + l)» - zu erhalten, eine
Form, welche Archimed nicht, wohl aberEpaphroditus benutzt hat. 3 ) Für die Summi-rung der Kubikzahlen 1 3 -|- 2 3 -f- 3 3 -f- • • • -f- r* =(l —|-2 —|-3-|-(- r) 2 gibt Alkarchi einen geo-
metrischen Beweis, dessen Gedankengangfolgen-der ist.') Im Quadrate A (' (Figur 98) sei dieSeite AB = 1 -{- 2 -j- 3 -f- ••• + »■, und nunschneidetmau von diesem Quadrate einen GnomonH B CDU C 1j ab, dessen Breite DU — r ist.
Die Fläche desselben ist offenbar 2r ■ A D — r 2 — 2r
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l — 1) = }- 3 . Es ist einleuchtend, dass wenn B' U' = r — 1gewählt wird, ein zweiter Gnomon losgetrennt werden kann, dessenFläche (»• — l) 3 sein muss, und dass in dem ganzen Quadrate r —1derartige immer kleiner werdende Gnomone entstehen, deren letztervon der Fläche 2 3 ist, und weggenommen noch ein Quadratclien l 2übrig lässt. Da aber l 2 = l 3 so ist auch l 3 -j- 2 3 + 3 3 + • • • + r 3 =(1 —(-23 —)-h»') 2 . Jetzt kommt Alkarchi zu den 6 Gleichungs-
formen, welche wir (S. 617) bei Muhannned ibn Müsä Alchwarizmibesprechen mussten, und setzt bei dieser Gelegenheit auseinander,was dschebr und mukäbala sei. 5 ) Er versteht dabei das Weghebengleichartiger Grössen auf beiden Seiten der Gleichung, welches wir
') Fakliri 59—62. *| Ebenda 6—7. 3 ) Agrimensoren S 128. 4 ) Fakhrißl.
Vergl. Hankel S. 192 Anmerkung, der in dem Beweise ein durchaus indischesGepräge erkennen will. 5 ) Ebenda 63—64.