572

Kapitel LXIX.

R L 7 p R 14 J = JA + ^14!

Solche Vereinigungen unter ein gemeinsames Wurzelzeichen wandteer auch bei Wurzeln höheren Grades und auch in Wiederholung an:R q L R c L R q 68 p 2 J m R c L R q 68 m 2 J J

= - p (768 - 2)]

R c L 4 p di m R q 11 j p R c L 4 m di m R q 1 Kl

= 7 (4 + V—^) + 7 (4 — (/—TI). 2 );

Wir benutzen dieses letztere Beispiel, um zu zeigen, wie Bombellian ebendemselben die Wurzelausziehung vollzieht. Sei zunächst all-gemein angenommen, man habe es mit 'j /« + ]/ — b - j/a — y — bzu thun, und es sei j/a + ]/— b = p + V ~ 2- Die Erhebung zum

Kubus und Gleichsetzung der reellen wie der imaginären Theile zeigt,dass a = p 3 — 3pg, ]/ — b = (3p- — q) }/— q und dadurch ergiebt

sich die zweite Kubikwurzel als j/ a — y — b = p — ]/ — q, dieSumme beider also als

j/ a -j- ]/— b j/ a — Y — b = p -f- y — q p — ]/ — q = 2 p.

Es kommt also ausschliesslich auf die Auffindung von 2 p an. Mul-tipliciert man die beiden Kubikwurzeln miteinander, so entsteht

pa l -\-b = p- + q und, wenn pa l -f b = c rational ist,

p- + q = c, q=c — i) 2 , — 3pq = 3p 3 — 3cp, p 3 — 3 pq = 4p 3 — 3cp.

Wir hatten aber als ein erstes Ergebniss a =p 3 — 3pq, mithin istp eine Wurzel der kubischen Gleichung 4p 3 — 3 cp = a.ln dem gegebenen Zahlenbeispiele ist

a = 4, 6=11, c = p4 l -f 11 = 3und 4p 3 — 9p = 4, 8p 3 — 18p = 8, (2p) 3 — 9 (2p) = 8

aufzulösen. Kann man, was in diesem Beispiele nicht zutrifft, hierausmit Leichtigkeit 2p ermitteln, so ist die Aufgabe gelöst.

Dagegen bilde ein anderes Mal 3 ) z 3 = 152 + 4 den Ausgangs-punkt der ganzen Untersuchung. Die Formel des Del Ferro lehrt

2 = y / (2 + y^m) + ^{2 - y^m). Hier ist

a = 2, 6=121, c=p2 3 + l2l = 5, 4p 3 —15p = 2, (2p) 3 —15(2p) = 4,welches bei 2p = 4 erfüllt wird. Das hier vorhandene Rationalsein

') Bombelli, Algebra 356.

’) Ebenda 294—295. 3 ) Ebenda 293.