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Kapitel LXIX.

auf a: 4 -f- x ‘y 2 + -ji/ 4 — x ~y 2 + \y* + c — ax2 — 5® oder

(® 2 + h/J = (y 2 - a) x 2 — bx + (|t/ 4 + c).

Die Quadratwurzelausziehung rechts ist möglich, wenu

4 ( y 2 — n ) (-^i/ 4 + c) = b 2 oder if> — ay* + 4 ci/ 2 = 4 ac + & 2 ,

beziehungsweise bei y 2 = z, wenn z 3 — az 2 + 4cz — 4ac -\- b 2 . Soist Vieta zu der Nothwendigkeit gelangt, die kubische Gleichung auf-zulösen, uud er schlägt dabei einen ihm eigentümlichen Weg ein,')welcher um so geistreicher erscheint, je gewisser wir (S. 583) be-haupten konnten, dass Vieta mit den Arbeiten seiner italienischenVorgänger bekannt gewesen sein muss. Sei x 3 -f- 3 ax = 2b, so ist

y 2 -f- xy — a zu setzen, also x = ^ , wodurch die gegebene Glei-

chung in die nach y 3 quadratische Form y 3 -)- 2 by 3 = a 3 übergeht.Wie kam Vieta zu dieser Substitution? Er sagt es nicht, aber es ist,glauben wir, gelungen, 2 ) seinen Gedankengang lierzustellen. Er magx 3 -f- 3az = x (x 2 -f- 3 a) gesetzt und an seine Anastrophe gedachthaben, d. h. er wollte den einen Faktor als Differenz z — k, denanderen als z 2 -f- kz -f- k 2 hersteilen, damit als Produkt die Differenzz 3 —k 3 auftrete, auf welche Tartaglia’s" Verse schon hinwiesen (S. 448).Ist aber x = z — k, so ist x 2 -f- 3 a — z 2 — 2 kz -f- k 2 ‘da, und

dieses wird zu z 2 + kz + k 2 , wenn z = j, d. h. x = j — k = •

Nun war bei dieser Annahme die Unbekannte ganz verloren ge-gangen. Vieta versuchte, ob k = y gesetzt deren Stelle einnehmenkönne, und das Gelingen des Versuchs bildete die neue Auflösung.Vieta giebt nun noch eine Anzahl von Betrachtungen, welche aufbesonders geformte Coefficienten, auf Rationalität oder Irrationalitätder Gleichungswurzel u. s. w. sich beziehen und schliesst die Ab-handlung mit einem Colledio quarta überschriebenen Kapitel, 3 ) welchesden Zusammenhang zwischen den positiven Wurzeln einer Gleichungund deren Coefficienten vollständig enthüllt, welcher in der Recognitioerst angedeutet war. Die Gleichungen 2., 3., 4., 5. Grades werdenvorgeführt: x — a, x = b seien die 2 Wurzeln von

(a -f- b) x — x 2 = ab ;

x — (i, x = b, x = c seien die 3 Wurzeln von

x 3 — (a + b -f- c) x 2 -|- (ab -j- ac + bc) x = abc\x = a, x == b, x — c, x — d seien die vier Wurzeln von

') Vieta pag. 149—156. 2 ) Marie, Histoire de Sciences mathe'matiques

et physiques III, 59—60. *) Vieta pag. 158.