Rechenkunst und Algebra.

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Schrift, welchem wir folgen, giebt als Beispiel Bürgi’s Behandlungder Neunecksgleichung 9 — 30a; 2 -(-27a; 4 — 9a;* 1 -|- x 3 = 0. Durchgraphische Versuche wird gefunden, dass 0,68 < x < 0,69, d. h. dasseine Länge von 0,68 des Halbmessers eines Kreises in den Zirkelgenommen mehr als 9 Mal im Umkreise sich auftragen lässt, wäh-rend 0,69 bei gleichem Versuche über den Ausgangspunkt hinaustrifft..Jetzt beginnt für Bürgi die Rechnung und indem er für x die beidengenannten Werthe in die Gleichung einsetzt, findet er selbstver-ständlich als Summe des Gleichungspolynoms nicht 0, sondern -(-0,0569bei x = 0,68 und — 0,0828 bei x = 0,69. Einer Zunahme von x um0,01 entspricht eine Abnahme des Gleichungspolynoms von 0,1397.Damit 0 entstände, müsste die Abnahme 0,0569 betragen, Bürgi setztdesshalb in Proportion 0,1397 : 0,0569 = 0,01 : Ax mit Ax = 0,0040.Behufs einer zweiten Rechnung wird nun x — 0,6840 und x = 0,6841eingesetzt. Die hier auftretenden Fehler sind + 0,00056410 beix = 0,6840 und — 0,00004029 bei x = 0,6841. Aus ihnen folgt dieProportion

0,00140012 : 0,00056410 = 0,0001 : Ax mit Aa; = 0,00004029,und folglich ist in sehr bedeutender Annäherung x = 0,68404029zu setzen.

Die gleiche Aufgabe der Auffindung von Sehnen einfacher Bögenaus denen der nfachen Bögen mit Hilfe von zwischen diesen Streckenobwaltenden Gleichungen höherer Grade hat Pitiscus im zweitenBuche seiner Trigonometrie von 1612 erklärtermasseu im SinneBürgi's (S. 568) gelöst. 1 ) Die nach der Regel des doppelten falschenAnsatzes geführten Rechnungen stimmen auch vollständig mit Bürgi’sGedankengang überein. Pitiscus will z. B. aus der Sehne von 30°,■welche 5176381 zur Länge hat, die von 10° berechnen. Die Gleichungheisst hier a = 3a: — x 3 , wo a die bekannte Sehne bedeutet. 2 ) Aus

ihr folgt x = ® -(- x oder x > ~ Nun ist £ = 1725460, und

6 6 3 o

etwas grössere Zahlenwerthe wären 1730000, 1740000, 1750000.Die Annahme x = 1 730000 giebt 3x — x 3 = 5138223 oder 38158zu wenig. Die Annahme x= 1740000 giebt 3a; — x 3 = 5167320oder 9061 zu wenig. Nun wird nach den Regeln des doppeltenfalschen Ansatzes 1740000.38158 — 1730000.9061 = 50719390000durch 38 158 — 9061 = 29097 dividiert, wodurch der Quotient 1 743114sich ergiebt, und dieser dient als neuer Näherungswerth. Setzt manihn in 3a: — x 3 ein, so entsteht 5176378 oder 3 zu wenig. Richtigmuss demnach ein x sein, welches um ein Geringes grösser ist als

*) Pitiscus, Trigonometria (1612) pag. 44: Adhuc aliter, per subtensas etper Algebram ex menta lasti Byrgii (Algebram qui nescit, Algebraica transiliat,hie tt per totum reliquum librum. Kon enim necessitati, sed tantum cnriositatihaee data sunt). 2 ) Ebenda pag. 51— f>3.