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Kapitel LXXV.

Arbeit abschreckend erschien. Fermat fiel auf den gleichen Gedankenund muss ihn in einem verloren gegangenen Schreiben an Pascalauseinandergesetzt haben, wie aus der Antwort Pascals vom 24. Augustzu ersehen ist. 1 ) Aus einem anderen Briefe Pascals an Fermat vom27. October 1654 erfahren wir aber auch, dass, was Pascal als com-binatorische Methode sich dachte, von der Fermats durchaus ver-schieden war. 2 ) Die Fermat’sche Methode ist für die oben aus-einander gesetzte Aufgabe folgende: Wird auf 3 Gewinnspiele ge-spielt, und A steht auf 1, B auf 0, so ist in spätestens 4 Einzelspielendas Spiel zu Ende. Bezeichnet man nun jedes durch einen der Spielergewonnene Einzelspiel durch den seinem Namen entsprechendenkleinen Buchstaben, so giebt es 16 Möglichkeiten: aaaa, aaab,aaba, aabb, abaa, abab, abba, abbb, baaa, baab, baba,babb, bbaa, bbab, bbba, bbbb. Davon sind die 8., 12., 14., Io.,16., also insgesammt deren 5 dem B günstig und die übrigen 11 demA. Fermat dehnte diese seine Methode auch auf mehr als nur zweiSpieler aus, blieb aber damit Pascal unverständlich, bis er ihm am25. September die Sache klarer auseinanderlegte, 3 ) worauf Pascals er-wähnte volle Zustimmung vom 27. October er folgte.

Pascal hörte aber desshalb keineswegs auf, die ihm eigenthüm-liche Methode zu vervollkommnen, und bei ihrer Anwendung sich desarithmetischen Dreiecks bedienen zu können, erschien ihm mit Rechtbemerkenswerte 4 ) Man müsse, sagt Pascal, beachten, wie viele Ge-wiunspiele jedem der beiden Spieler, zwischen denen die Theilungerfolgen soll, noch fehlen, um überhaupt gewonnen zu haben. Diebeiden Zahlen addiert man zusammen und sucht die so vielte Basisim arithmetischen Dreiecke als jene Summe als Ordnungszahl be-trachtet angiebt. Addiert man die Zeilenzahlen von sovielen vonunten, beziehungsweise von oben an gezählten Zellen dieser Basis,als durch die jedem Spieler fehlende Anzahl von Gewinnspielen vor-geschrieben wird, so liefern die beiden Summen die Verhältnisszahlen,nach welchen die Theilung in umgekehrter Reihenfolge der Spielervor sich zu gehen hat. Fehlen beispielsweise dem ersten Spieler 2,dem zweiten 4 Gewinnspiele, so muss man zur 2 -(- 4 = 6. Basis über-gehen, und die Summe von 4 Zellen 1 —(— 5 —}- 10 —{— 10 = 26 nebstder von 2 Zellen 1+5 = 6 geben das Yerhältniss an, in welchemder erste, beziehungsweise der zweite Spieler am Gesammteinsatze be-theiligt ist. Der Beweis wird nach der Methode der vollständigen

«) Pascal III, 226—231. 0 Ebenda III, 235: J’admire votre methode pour

les partis, d’autant mieux que je l’entends fort bien; eile est entierement votre,et n’a rien de conunun avec la mienne, 3 ) Ebenda III, 232—234. 4 ) EbendaIII, 257 — 266: TI sage du triangle arithmetique pour determiner les partis qu’ondoit faire entre deux joueurs qui jouent en plusieurs parties. Vergl. besonderspag. 261 Probleme I.