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Zahlentheorie. Algebra.

?/ 4 + py 2 + ?»/ — »• = 0

ist diese Hilfsgleicliung

s 6 _|_ 2 2Jje -i -f ( 2 P + 4,.) _ q i = 0

formell vom 6., eigentlich vom 3. Grade und liefert damit eine neueAuflösung der allgemeinen Gleichung 4. Grades mit Hilfekubischer Gleichungen.

Wir haben schon (S. 725) darauf aufmerksam gemacht, dass Des-cartes die Invention nouvellc en l’algibre zuverlässig kannte. Diegleiche Ueberzeugung gewinnt man aus einem Briefe, welchen Des-cartes unter dem 1. Februar 1640 anJacobvanWaessenaer richtete. 1 )Ueber die Ausziehung der Kubikwurzel aus einem aus einem rationalenTheile und einer irrationalen Quadratwurzel bestehenden Binomiumwar zwischen Stampioen und dem genannten Jacob van Waesse-naer, einem in Utrecht wohnenden Anhänger von Descartes, einStreit ausgebrochen. Descartes spielte, wenigstens hinter den Kulissen,eine Rolle in diesem Streite und versah seinen Schüler mit Gründen,welche dieser zur Verwerthung bringen könne. In dem erwähnten

Briefe ist jener Satz über a -f f/b = a -f j/ß bewiesen, welchen

wir bei Stifel, bei Girard auftreten sahen (S. 724), und der in derGleichung y'n 1 — b — a 1 — ß seinen Ausdruck findet.

Mochte Jacob van Waessenaer damals noch als Anfänger zubetrachten gewesen sein, der in einer ziemlich einfachen Sache derAnleitung bedurfte, in einer etwa um 20 Jahre späteren Zeit findenwir ihn mit Untersuchungen beschäftigt, welche an Descartes an-knüpfen, aber über ihn hinausgehen. Wir sahen, dass Descartes dazukam, Probeversuche mit sämmtlichen positiv und negativ zu wählendenTheilern der Gleichungsconstante zu empfehlen, ob man so eine Glei-chungswurzel entdecke. Van Waessenaer gab ein Mittel an, 2 ) dieseder Zahl nach oftmals ausserordentlich vielen Versuche wesentlich ein-zuschränken. Sei z. B. die Gleichung z* — x- — 30a: + 72 = 0 vor-gelegt, so giebt es 12 Theiler von 72, nämlich 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12,18, 24, 36, 72, welche alle positiv und negativ durchprobiert ein24maliges Rechnen beanspruchen würden. Van Waessenaer nimmtstatt dessen zunächst zwei Umformungen vor, die eine durch z= y-\- 1,die andere durch x = z — 1, und er vollzieht sie nicht einmal voll-ständig , sondern begnügt sich mit der Auffindung der neuen Glei-chungsconstanten, welche in dem einen Falle (bei der Gleichung in y )1 — 1 — 30 —J— 72 = 42, in dem anderen Falle (bei der Gleichungin e) — 1 — 1 —f— 30 —j— 72 = 100 wird. Damit sind die Probezahlenfür y als 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 und die für z als 1, 2, 4, 5, 10,

') Veröffentlicht durch H. Bierens de Haan in der Zeitschr. Math. Phys.XXXII, hist.-litter. Abtheilung S. 163 flgg. ?) Descartes, Geom. I, 307.

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