Geometrische Gleichungsauflösungeu. Analytische Geometrie.

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über einer gegebenen Grundlinie ein Dreieck zu zeichnen, dessenbeide anderen Schenkel die halbe Grundlinie zum Unterschiede haben.Die Spitze des Dreiecks liegt auf einer Hyperbel, was aber Ghetaldinicht bemerkt zu haben scheiut.') Das 4. Kapitel endlich enthältacht Aufgaben, welche nicht in das Bereich der Algebra fallen, 2 )d. h. solche, welche Ghetaldi nicht in Gleichungsform zu bringenwusste. Unter ihnen ist gleich die erste diejenige, welche wir meinten,als wir von einer Aufgabe sprachen, die richtig angefasst zu einerGleichung 4. Grades hätte führenmüssen. Eine Seite eines gegebenenRhombus wird verlängert, dann sollin dem entstehenden Aussenwinkeleine gegebene Strecke so eingezeich-net werden, dass ihre Verlänsrerunffin den Eckpunkt des Rhombus ein-trifft, welcher dem Scheitel des Aussen-winkeis gegenüberliegt. 3 ) Ist (Figur 141) a die Seitenlänge des Rhom-bus, k die Länge der einzuzeichnenden Strecke MK, und wirdBCD = a, BM = x gesetzt, so ist

Fig. 141

KD

akx r

KC — a — BK = a

ax

x -f- a

und im Dreiecke CDK findet die Gleichung statt

a 2

x + a

oder

(t) = ^ + L+ a ) 2 ~ 2a ■ dj- a ' C ° S “

(x- — k 2 ) (x + aj l = (2 (a -f- x) cos a — a) ax 2 ,

welche zu construiren bleibt. 4 ) Ghetaldi benutzt aber diesen Wegnicht, wie er überall die Anwendung trigonometrischer Funktionenvermeidet, so sehr die Lösung der Aufgaben dadurch beschleunigtwürde. Ihm war offenbar, trotz Regiomontanus und Vieta, welcheer sorgsam studiert hatte, die Handhabung jener Funktionen nichtganz geläufig. Er versuchte lieber, und so auch bei der Aufgabe,von der wir gerade reden, eine geometrische Analysis in antikemSinne und Hess dann die Construction und deren Beweis folgen.

O

’) Ist 2 a die gegebene Grundlinie zugleich Richtung, der Abscissenaxe einesrechtwinkligen Coordinatensystemes, dessen Anfangspunkt in der Mitte derGrundlinie liegt, so heisst die Gleichung des Ortes der Dreiecksspitze

y 2 — 3x 2 - — a*.

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Vergl. Kästner III, 190. 2 ) De resolutione et compositione problematum quae

sub Algebram non cadunt. 3 ) Rombo dato et uno latere producto aptare subangulo exteriori magnitudine datam rectam lineam, quae ad oppositum angulumpertingat. ’) Ueber die Bedeutung der 4 Wurzeln dieser biquadratischen Glei-chung vergl. Kästner III, 192—193.