Geometsische Gleichungsauflösungen. Analytische Geometrie.

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des geradlinigen CoordinatenSystems, so verschieden sie getroffenwerden kann, das Geschlecht der Curven nicht.') Nochmaliges Zurück-greifen auf die Aufgabe des Pappus führt Descartes nun dazu, eine

gewisse Strecke J/' m 2 ox — jj- x 1 näher zu untersuchen. 2 ) Kommt

x 2 in dem Radikanden überhaupt nicht vor, so ist der Kegelschnitt,welcher als geometrischer Ort auftritt, eine Parabel; hat jenes Glieddas Vorzeichen -|-, so ist eiue Hyperbel entstanden, und endlich eineEllipse, wenn das Vorzeichen — heisst. Nach einigen weiteren Aus-einandersetzungen gelangt Descartes zur Aufgabe, in einem Punkteeiner gegebenen Curve eine Senkrechte zu der Curve oder ihrer Be-rührungslinie, contingens , zu ziehen, 3 ) über deren Auflösung wir imLXXIX. Kapitel berichten werden. Die Anwendung der Methode derNormalenziehung wird unter Anderem bei der Conchoide gemacht 4 ) undbesonders bei einigen Curven, welche als die De scartes’schen Ovalen 5 )bekannt geblieben sind. Es sind sogenannte Diakaustiken, d. h.sie haben die Eigenschaft, dass alle von einem Punkte ausgehendenund auf sie auffallenden und in Folge des Brechungsgesetzes gemässeinem gegebenen Brechungsexponenten abgelenkten Strahlen nacheinem Punkte weiter geworfen werden, in welchem sie sich vereinigen,so dass man gewissermassen von Brennpunkten reden dürfte. WieDescartes zu diesen Ovalen gelangt ist, sagte er nicht. Am Schlüssedes II. Buches findet sich, ü ) was wir einen Gedanken über dieanalytische Geometrie des Raumes genannt haben. Was überebene Curven gelehrt wurde, sagt Descartes ungefähr, ist leicht aufalle solche auszudehnen, welche durch regelmässige Bewegung vonPunkten im dreidimensionalen Raume, in spatio trium dimensionuni,entstanden sind. Mau braucht nur von jedem Punkte der CurvePerpendikel auf zwei zu einander senkrechte Ebenen zu fällen, denndie Endpunkte dieser Perpendikel bilden zwei Curven, je eine aufeiner der beiden Ebenen, die man nach der gelehrten Methode beideauf die Durchschnittslinie der beiden Ebenen beziehen kann, und als-dann ist die dreidimensionale Curve vollständig bestimmt. Sogar dieNormale zur Raumcurve in einem ihrer Punkte könne man so er-halten. Jenem Punkte entspricht je ein Punkt in jeder der beidenebenen Curven, also auch je eine Normale an die betreffende ebeneCurve, und Ebenen, welche durch diese Normalen senkrecht zu denCurvenebenen gelegt sind, schneiden sich in der gesuchten Normaleder Raumcurve.

') Descartes, Geom. I, 22: fieripotest, ut linea eiusdem generis esse appareat.Deutlicher war der französische Wortlaut: on peut tousjours faire gue la ligneparaisse de meine genre. Oeuvres (ed. Cousin) V, 339. *) Descartes, Geom.

1,29. 3 ) Ebenda I, 40 sqq. 4 ) Ebenda I, 49. 5 ) Ebenda I, 50: Explieatio

quatuor generum noiarum ovalium opticae inservientium. 6 ) Ebenda I, 06.

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