Infinitesimalbetrachtungen. Kepler. Cavalieri.

I6Ö

gramm AEI1F, der Parabelabschnitt FC MH und das Dreieck FCH,deren Lagenverhältnisse aus der Figur einleuchten, sich wie 6:4:3verhalten. Man zieht NM II CG 11 EIL

c

N

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(f

Fig. 148.

0 H

Vermöge der Eigenschaften der Parabelist EH : NM = CEF : CN 2 oder

NO : NM = CE- : CN 2 .

Die Gesammtheit der NO verhält sichdesshalb zur Gesammtheit der NM, d. h.das Parallelogramm CG HE zu dem drei-linigen Raume, trilineum, CM HE wie dieGesammtheit der Quadrate der Geraden im Parallelogramm CG HEzu der der Quadrate der Geraden CN, d. li. der Geraden im DreieckeCHE. Deren Verhältniss war 3:1, mithin ist das erwähnte Trili-neum ein Drittel des Parallelogramms, und das ergänzende TrilineumCM HG zwei Drittel desselben, während das Dreieck CHG dessenHälfte ist. Da links von CG ähnliche Verhältnisse obwalten, so istdamit der Satz bewiesen. Mit Uebergehung des ganzen V. Bucheserwähnen wir den 9. Satz des VI. Buches, 1 ) welcher die Quadraturder Archimedischen Spirale enthält. Diese war, ebenso wie die Qua-dratur der Parabel, allerdings schon von Archimed ermittelt (Bd. I,S. 261—263), es bedurfte also keiner neuen Entdeckung, sondern nureines neuen Beweises vom Gesichtspunkte der Indivisibilien aus. Beidem ohnedies verwickelten Gegenstände sei ohne Veränderung desGanges der Darstellung, wie Cavalieri sie giebt, eine etwas veränderteAusdrucksweise hier gestattet (Figur 149). Unter Fläche der Spiralewird der Raum A DCHA ver-

ir -ff

1

standen, welcher begrenzt istdurch die Spirale von ihremAnfangspunkte A bis zu B,wo die erste Umdrehung deserzeugenden Leitstrahles voll-endet ist, und von dem letztenLeitstrahle AB. Sie kann alsUnterschied zweier andererFlächen aufgefasst werden,nämlich des mit AB — B als Halbmesser beschriebeneil Kreises nli 2uud des Raumes ADCBC,D,B, welcher Q heissen mag. Die Glei-chung der Spirale ist q = kcp, wo p den Leitstrahl, cp das Längeu-

rig. 119.

maas§, des Kreisbogens vom Halbmesserzogene Drehung

nach <p = 2 ir bt

des Leitstrahles bespannt. Dap = li wird, so ist B = 2-x~k

bedeutet, welcher die voll-der AnnahmeII li <j>

k =

2 7t

') Indivisibilien pag. 436—439.