Roberval. Torricelli.

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eompagne de la cycloide übersetzt worden ist (Figur 168). Die Ent-stehung dieser Curve AV'VH ist folgende. Von jedem Punkte E’des zur Grundlinie senkrechten Durchmessers AC des Erzeugungs-kreises in seiner Anfangslage wird parallel zur Grundlinie die E'V'

B V/,

A

r

Fig. 168.

gezogen, welche den ersten Erzeugungskreis in B schneidet. Nimmtmau auf ihr E'V' = arc AB', so ist V' ein Punkt der Gefährtin derCycloide, welche, wie man leicht erkennt, jenseits HF sich in einemzu AV'VH symmetrisch - congruentem Aste bis nach L fortsetzt.Roberval bedient sich nur dieser geometrischen Definition, ohne siein die Formelsprache der analytischen Geometrie zu kleiden. MitBenutzung derselben findet man Folgendes. Der Halbmesser des er-zeugenden Kreises heisse r, der Centriwinkel AEB' heisse a, undx | y seien die Coordinaten von V bezogen auf AL als Abseissen-axe, AC als Ordinatenaxe. Nun ist x = ra, y — r — r . cos a undbei Verschiebung des Coordinatenkreuzes nach dem neuen Anfangs-punkte V, wobei VP die neue Abscissenaxe ist, und 1- | y die neuenCoordinaten bezeichnen, ist sofort

r ( k

r sin (y — aj — r . sin (k —

y = y — r = — r . cos a =

oder endlich, indem r als Einheit gewählt wird, y — sin so dassRoberval als Erfinder der Sinuslinie betrachtet werden muss. Wienun die Gefährtin der Cycloide zu deren Quadratur führt, ist ebensosinnreich als einfach. Der Raum Ali'BHF, welcher die halbe Cy-cloidenfläche bildet, besteht aus zwei Theilen, erstens der halbenFläche der Gefährtin AV’VHF und zweitens dem zwischen beidenCurven befindlichen Raume Ali’BHVV' . Man braucht nur dieGerade AVH gezogen zu denken, um zu erkennen, dass die beidenAbschnitte, welche diese Gerade mit der Gefährtin bilden, und vondenen der eine obere ihrer Fläche angehört, der andere untere nicht,

einander congruent sind, dass also AV'VHF — ^ ACHF, d. h.

dem erzeugenden Kreise gleich. In dem von beiden Curven be-grenzten Raume ist immer B,’V' = E'B'. Unter Festhaltung der