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Kapitel LXXXI.

F

—t—

E

A

-4-

1)

0 4 5

Fig. 180 .

3 + 5 + 4

+ 5 + 4

+ 4

und diese Summe soll die bei 3 aufan gende Triangularsummevon 3, 5, 4 heissen. Gleichgewicht findet also statt, wenn dieTriangularsumme der von dem Unterstützungspunkte nach beidenSeiten vorhandenen Gewichte dem Unterstützungspunkte zunächst an-fangend eine und dieselbe ist. Im Unterstützungspunkte selbst darfnatürlich auch noch ein Gewicht von beliebiger Grösse vorhandensein. So findet also auch wieder (Figur 180) bei Unterstützung von

A Gleichgewicht statt, wenn abermals diebeigeschriebenen Zahlen den Grössen derj in den einzelnen Punkten aufgehängtenGewichte entsprechen. Nun bilde manetwa von C anfangend die Triangular-summe aller Gewichte l-8+2-9 + 3- 5 + 4- 4+ 5- 0+ 6- 7 = 99und die einfache Summe aller Gewichte 8 + 9 + 5 + 4+0 + 7 = 33,so ist die erstere Summe das Sovielfache der zweiten als es wiedervon C anfangend bis nach A, dieses selbst mitgezählt, Punkte giebt.Es ist natürlich, dass der Satz auch richtig bleiben muss, wenn manbeide Summen von B aus bildet. Pascal giebt einen Beweis, desseneigenthümliche Form verständlicher werden dürfte, wenn wir ihnvorher in allgemeine Buchstaben übersetzen. Die Gewichte mögenvom gewählten Anfangspunkte an gerechnet p i} p 2 , heissen,

und pp hänge am Unterstützungspunkte. Die Triangularsumme jenerGewichte ist

1 • Pi + + • • ■ + PPh + + + 1) 2b<+i + •'++ + v F Pp+ r -i.

Wegen des vorhandenen Gleichgewichtes ist1 • 4h<+i+2jV+2+ ■ • + (n—l)P/<+> i = 1 'P.u-i + 2Pfi - 2 +—h(, u —oder

() = (u—1 )p,+(g 2)p 2 -|-1-1 -IV-i+O^,— 1 p /<+ i- (v -1)jV+r-i •

Wird dieser den Werth nicht verändernde Ausdruck zur obigenTriangularsumme addiert, so geht dieselbe in

f 4 (Pi + Ih + ' ' ’ + 2V+»-0

über, womit der Satz bewiesen ist. Pascal schreibt nun in dem ge-gebenen Zahlenbeispiele

7 0 4 5 9 8 /

70459 ,

7 0 4 5

7 0 47 0