Einzelne geometrische Untersuchungen. Leibnizens Characteristica geometrica. 19

massen in b besitzen, muss

’ A.

bA

bC

sein, und so entsteht der zu be-

weisende Produktensatz: aJB ■ bC ■ cA = aC ■ bA • cB. Ceva bat aberdann auch einen zweiten Produktensatz für die Abschnitte, die aufden drei Seiten eines Dreiecks durch Ecktrausversalen mit gemein-samem Durchschnittspunkte gebildet werden, bewiesen, und dieserSatz pflegt in der Geometrie als Satz des Ceva benannt zu werden.Es sei (Figur 3) B der Durchschnittspunkt der Transversalen A a,Bß, Cy. In A denkt man sich ein be-liebiges Gewicht A u in B und C solcheGewichte und G,, dass y der Schwer-punkt von A 1 und J»’,, ß der von A lund C { ist. Der Schwerpunkt der dreiGewichte A 1) B j) C\ muss nun ebenso-wohl auf Cy als au Bß liegen, d. h. in I).

Damit ist aber festgestellt, dass jener gemeinsame Schwerpunkt auchauf den Verbindungsgeraden von A mit dem Schwerpunkte derund C, liegen muss, d. h. dass n dieser letztere Schwerpunkt ist.ln den drei Punkten «, ß, y finden demnach die Gleichungen statt:

Ca ■ C t = B a ■ B i} Aß ■ A, = Cß • C l} ByB 1 = AyA l .Deren Multiplikation aber führt nach Weglassung der auf beidenSeiten auftretenden Faktoren A 1) B 1 , (\ zu Ca ■ Aß ■ By = Ba- Cß ■ Ay.Ceva fügte diesem statischen Beweise noch zwei geometrische hinzu,deren einen er dem Mailänder Kriegsbaumeister Pietro Paolo Cara-

Flg. 3.

vaggio 1 ) (1617—1688) als Erfinder zuschrieb. Ceva beweist danngleichfalls auf statischem AVege einen ganz ähnlichen Satz über dasViereck, dessen Eckpunkte nicht alle derselben Ebene ■ angehören:werde es von einer Ebene so geschnitten, dass jede Seite in zweiAbschnitte zerfällt, so sei das Produkt von vier von diesen Abschnitten,welche keinen Endpunkt unter sich gemeinschaftlich haben, gleichdem Produkte der vier anderen. Das zweite Buch wendet die Ge-danken und Sätze des ersten Buches auf Kegelschnitte an. Hier istunter Anderem bewiesen, dass in jedem einem Kegelschnitte um-schriebenen Dreiecke die Ecktransversalen nach den Berührungs-punkten einen gemeinschaftlichen Durchschnittspunkt besitzen. End-lich lehrt ein Anhang, der vielleicht besser als besondere Abhandlungbezeichnet wäre, Sätze, die sich auf die Flächeninhalte gewisser ebenenFiguren und auf die Rauminhalte und Schwerpunkte von Umdrehungs-körpern zweiten Grades beziehen.

Pater Sigismund Ferdinand Hartmann 5 ) (1632 —1681),

') Poggendorff I, 375 . s ) Ebenda I, 1023 .