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85. Kapitel.

Wie er dieses fand, sagt er wieder nicht. Vermuthlicli hat er

jedes Glied der Reihe in eine Differenz verwandelt, d. h. = 1

i

j

i _ i l i_ _ l 1 l

a • 3 _ 2 3 ’ 3 4 ~ 3 4 ’ ' ’ ‘ «(a + 'i)

1,11,1 S ° l 1 2 + 2-3 + 3 1 4 + --- + „(a4

= 1

-I -f- —

o i .»

3^3 4

:t(a + 1 )

- 1 _ 1 - 1 _

1 u « -|- 1

a 4- 1

u -j- 1

gesetzt

a

+ 1

erhalten. Damit ergab sich zugleich 1--4- 1 - 1 4- 1 — • • •

in infinitum = 1 . Die Convergenz der Reihe 1 4 - 1 4 - 1 4-• • •

2 • 3 4 • 5 0 • 7 '

sowie die der Reihe j . 0 4- 1 3 -f- ^ 1 4 4” 4 1 4 + • • • zieht dann auch

die Convergenz der Reihe x ’ 2 + 3 1 4 + f / G -f • • • nach sich, und

die Kenntniss aller dieser Thatsachen wird man Rrouncker kaum ab-sprechen können.

Allerdings legte er ihnen zuverlässig nicht die Bedeutung hei,welche man heute mit ihnen verbindet. Dass eine Reihe vor derBenutzung auf ihre Convergenz zu prüfen sei, ist erst im XIX. Jahrh.Gemeingut der Wissenschaft geworden. Noch das XVIII. und umso mehr das XVII. Jahrh. mochten ab und zu Convergenzunter-suchungen ausführen, aber von ihrer Nothwendigkeit hatte man, eineeinzige Ausnahme, auf die wir gleich zurückkommen, Vorbehalten,keine Ahnung. Es waren eben Untersuchungen über Reihen wieandere auch, interessant, wenn sie etwa den Werth einer Reihe nähe-rungsweise kennen lehrten, aber ohne die Eigenschaft der Convergenzwar nach dem stillschweigenden Einverständnisse sämmtlicher Mathe-matiker eine Reihe nicht minder beachteuswerth. Die einzige vonuns berührte Ausnahme trat dann ein, wenn eine praktische Anwen-dung einer Reihe zur Auswerthung der ihr gleichen Funktion gemachtwerden wollte. In diesem Falle drängte sich der Missstand, dass dieRechnung mittels divergenter Reihen das erwünschte Ergehniss ver-weigerte, von selbst auf und verlangte Abhilfe.

Als Beleg dafür können wir auf die zweite Arbeit aus demJahre 1668 verweisen, an welche (S. 55) gedacht wurde, auf einenBericht von John Wallis 1 ) über Mercators Logarithmotechnia inden P. T. vom 17. August 1668. Er ist von Mercators Reihe, welche

log (1 -f- A) von A — 2 A 2 -j- * A 3 — * 4 . 1 -j- ■ abhängig macht,entzückt, aber man dürfe sich nicht verbergen, dass die Sache einen

') P. T. II, 753—756.