Reihen. Leibniz. Halley. De Moivre. Jakob Bernoulli . Kettenbrüche 79

Geht man beliebig weit, so wird /' kleiner als jede gegebene Grösse 1 ).Das ist genau der Beweis des Convergenzsatzes für Reihenmit alternirendem Vorzeichen und unendlich abnehmendenGliedern, wie er in den neuesten Lehrbüchern noch immer vor-getragen wird, denn ob man sagt f — g, h — i, . . . und g — h,i — /.', . . . seien positiv und deshalb L > S > M, oder ob man derLeibnizischen Ausdrucksweise sich bedient, kann doch nur als Unter-schied älteren und neueren mathematischen Sprachgebrauches er-achtet werden.

Wir haben die Aufsätze in den A. E. genannt, durch welche dieReihe --j- -i^- + • • • in die Oeffentlichkeit drang,

während bis dahin weder Gregory noch Leibniz mehr als halbver-trauliche briefliche Mittheilungen von sich gegeben hatten. Dieerste gedruckte Erörterung des Gegenstandes in den A. E. von 1082führt den Titel: l)e vcra proporlione circuli ad quadratum circumscrip-tum in minieris rationalibus expressa 2 ). Wir bringen sie aus zweiGründen zur besonderen Erwähnung. Erstens sind in ihr zunächstbeweislos die Summen einiger anderen numerischen Reihen angegeben,auf die wir noch zurückkommen werden, zweitens kommt dort einAusdruck und ein Begriff zuerst vor, denen nicht früher als inunserer Zeit eine genauere Beachtung zu Theil wurde: die Partial-reihe, series partialis.

Die Reihe der Zahlen -J-, —, 4~, 4- • • •, sagt Leibniz , sei eineharmonische, und harmonisch seien auch die Reihen, deren Gliederdurch einen Sprung 3 ) aus den genannten Zahlen hervorgehen -j-, -i-,4- • • ■ ebenso wie 4-, 4-, 4r • • •■ Die Kreisreihe entstehe, indem

man die zweite Partialreihe von der ersten abziehe 4 ). Leibniz bleibtdann noch einen Augenblick bei sprungweise gebildeten Reihen stehen.Fasse man in der Kreisreihe je ein positives und ein ihm unmittelbarnachfolgendes negatives Glied zusammen, so entstehe

— = — -f — 4- — + — -f 1 +•••.

8 3 ~ 35 ' 99 ‘ 195 ' 323 '

Die Nenner der Glieder dieser Reihe sind aber auch wieder durchSprünge ausgeleseir’), und zwar aus der Reihe der um eine Einheitverminderten Quadratzahlen, d. h. aus der Reihe 3, 8, 15, 24, 35, 48,G3, 80, 99 .... Wählt man unter ihnen die erste und dami jeweils

*) Continuando quantum lubet f est minor data. ■) Leibniz V, 118—122.

3 ) per saltum. 4 ) posteriorum seriem partialem a priori subtrahendo. : ’) exccrpti

per saltum.