Mitglied an, aber schon etwas früher legte er ihr eine Arbeit 1 ) vor,welche der Potenzerhebung unendlicher Multinomien, d. h. also dempolynomischen Lehrsätze gewidmet war. Leibniz hatte zwarschon mit derselben Aufgabe sich beschäftigt und in einem Briefean Johann Bernoulli vom Mai 1095 davon gesprochen 2 ), aberDe Moivre war jedenfalls der erste Verötfentliclier einschlagenderUntersuchungen. Die angeführte De Moivresche Abhandlung betrifft,wiewohl der Titel auch Wurzelausziehung einzubegreifen scheint, aus-schliesslich den Fall von Potenzen mit ganzzahlig positivem Expo-nenten m und gibt ausführlich die Glieder mit z"‘, z"‘ + 1 bis ein-schliesslich 2 ’'‘ + g , welche in der Entwicklung von
(az -f- bz 2 + cz 3 -j- dz 4 + ez 3 -f- fz r> -f- gz 7 + • • •)'"
zu Tage treten. Im nächsten Bande der P. T. gab der inzwischenzum Mitgliede der Royal Society Ernannte eine Fortsetzung 3 ) derfrüheren Abhandlung. Er geht aus von der Gleichung zwischen zweiunendlichen Reihen
uz + bz 2 -f cz 3 + dz 4 - =gy + hy 2 -f iy 3 + Jcif -|-,
aus welcher er eine nach Potenzen von y fortschreitende Entwick-lung für z folgert. Die dabei angewandte Methode ist die der un-bestimmten Coefficienten (Bd. II, S. 684), welche nachgrade zuallgemeiner Benutzung gelangt war. De Moivre setzt also
z = Ay + By 2 -f Cy 3 + Di/ -]-
und gewinnt durch Einsetzung dieses Werthes
az -f- bz 2 -f- cz 3 -f- • • ■ = aAy -f- a By 2 -f- a Cy 3 + • • •
+ bA 2 y 2 / 2bABy 3 -\ -
+ cA 3 y s -j-
welches mit gy -f- hy 2 -}- iy 3 -)-••• iibereiustimmen muss. Folglich istaA — g d. h. A = 9 : dann aB -I- bA 2 = h. d. h. B = !l — :weiter aC + 2bAB + cA 3 = *, d. h. C = » - 2 b AB - cA ° ^
Die Nenner der entstehenden Werthe von A, B, C . . . sind sänimt-lich a. Eine Einsetzung der einmal gefundenen Coefficienten A, B...in die nachfolgenden C, D . . . wird nicht vorgenommen.
Die Methode der unbestimmten Coefficienten dient De Moivre
') A Method of raising an infinite Multinomial to any given Power, orextracting any given Eoot of the same. P. T. XIX, 619—625, ! ) LeibnizIII, 175. 3 ) A method of extracting the Eoot of an infinite equation. P. T.
XX, 190—193.