Zahlentheorie. Algebra.

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assuiiita, von der Form

X 7i-l _ l) iX n -2 _|_ f, a x n — 3 + ■ • • + K-iX + b n — t + y

und eliminirt x zwischen der ursprünglichen und der angenommenenGleichung. Dahei entsteht eine neue Gleichung mit der Unbekannteny, welche gleichfalls n ten Grades ist 1 ), mithin

V " + Gl/* -1 H-h c a -iy + c„ = 0

heisst. Tn c lf c 3 , . . . c„—i kommen aber die willkürlichen Grössenb l} b t , ! vor, welche man so bestimmen wird, dass

dass mithin nur noch y H -f- c„ = 0 als neue Gleichung übrig bleibt,womit die Aufgabe gelöst ist. Wir wissen heute, dass diese Schluss-folgerung eine übereilte ist. Allerdings entsteht mit Hilfe der an-genommenen Gleichung das Eliminationsergebniss

y” + Gl/" -1 H-+ + c„ = 0.

Allerdings enthalten die c it c 2 , . . . c, t — i die ' willkürlichen Grössenb u b 2 , . Aber die Bestimmung der letzteren aus

G = G = • • • = Ca -1 == o

ist meistens mit unüberwindlichen Schwierigkeiten verknüpft.

Von diesen Schwierigkeiten sagt Tschirnliaus kein Wort, währender sehr gut erkennt, dass die erforderte Elimination wesentlich ein-facher von statten geht, wenn man die Gleichung in x als von ihremzweithöchsten Gliede schon befreit, also in der Form

x n + a 2 x n ~ 2 + • • ■ + a,i-iX -f- a n = 0,

in Rechnung zieht 2 )- Wie Tschirnhaus die Elimination vollzogenwissen wollte, mit deren Hilfe jene neue Gleichung entsteht, derenmittlere Coefficienten nach seiner Behauptung zum Verschwinden ge-bracht werden können, sagt er nicht. Wir möchten vermuthen, erhabe sich der Subtraktion der bald mit der Unbekannten, bald mitBekanntem vervielfachten angenommenen Gleichung von der ursprüng-lich gegebenen Gleichung in mehrfacher Wiederholung bedient.

Tschirnhausens Beispiel der kubischen Gleichung heisst, nachdemdas quadratische Glied schon entfernt ist, y & — qy -f- r , die ange-nommene Gleichung ist y 2 = by -f- 2 -|- a. Wir wollen jene dieGleichung I, diese die Gleichung II nennen. Wird II mit y verviel-facht von I abgezogen, so entsteht by 1 = (q — a —- z)y -(- r. Davondie mit b verviefachte II abgezogen bringt

’) quae aeque altas dimensiones obtinet. 2 ) Vergl. Matthiessen, Grund-züge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen. Leipzig ,1878. S. 119—12G. Ueber das zuletzt Enviihnte vergl. S. 121, Z. 24—28.