118 87. Kapitel.
x geordnet oder in Holles Ausdrueksweise x als Ursprung genommen 1 ).Dadurch entstellt:
a 0 x n + na^zx n ~ x + 2 1 ' > a 0 z 2 x’ l ~ 2 + • • • + o 0 s n
— a 1 x n ~ 1 — (n — 1 )a l zx n ~ 2 — • ■ • — a 1 z n ~ 1
-f- a^x n ~ 2 + • • • 4" (i i z n ~ 2 ^
und soll diese Gleichung für jedes x erfüllt werden, so müssen dieals nach z geordnete Summen auftretenden Coefficienten der Potenzenvon x einzeln verschwinden, d. h. es muss sein:
na 0 z — a i = — 0 -— a ü z- — (n — l)a l z
- a 0 z n — a l z n ~' 1 -f a i g n ~ 2 — ■ ■ ■ + a lt = 0.
Diese n Gleichungen sind als Cascaden bezeichnet 2 )- Aber auch eineandere Bildungsweise derselben lehrt Rolle schon etwas früher. Mansoll in der ursprünglich gegebenen Gleichung g statt v schreiben,jedes ihrer Glieder mit dem Exponenten der in ihm auftretendenPotenz von g multipliziren, die Summe der so entstehenden Aus-drücke durch z dividiren und dann gleich Null setzen; man soll mitder neu erhaltenen Gleichung ebendasselbe vornehmen u. s. w. 3 ). Inder Sprache der Xeuzeit heisst dieses: die aufeinander folgendenCascaden sind die aufeinander folgenden Ableitungen dergegebenen Gleichung.
Rolle behauptet nun: die Wurzeln irgend einer Cascade von derletzten anfangend und aufsteigend bis zur ursprünglich gegebenenGleichung seien stets als Hypothesen in der Cascade nächsthöherenGrades zu verwenden. In unseren Tagen spricht man den Satz soaus 4 ): Zwischen zwei aufeinander folgenden Wurzeln a und ß derGleichung f\z) — 0 kann nicht mehr als eine einzige Wurzel vonf(z) = 0 liegen.
Rolle hat im Traite d’algebre keinen Beweis seiner Cascaden-methode gegeben. Dagegen muss er noch in dem Druckjahre 1690jenes Lehrbuches ein Duodezbändchen Sur les effcctions geometriqiicsveröffentlicht haben, in welchem jener Beweis enthalten ist. So er-zählt er selbst am Ende der dritten Seite der Vorrede der (S. 100)erwähnten Methoclcs pour rcsoadre les questions indetcrminees de Val-gebre von 1699.
') si on prend x pour V origine. 2 ) Ebenda pag. 126—127. 3 ) Ebendapag. 125. 4 ) J. A. Serret, Handbuch der höheren Algebra (deutsch von G.