Kegelschnitte. Curvcnlelire.

123

sein muss. Nach der tfonstruction sind die Bl und DE senkrechtzum Durchmesser BD des Kreises BIID, also Berührungslinien andiesen Kreis ebenso wie I1IE. Folglich ist Bl = III, DE = Eli.Wegen Dreiecksähnlichkeit ist

AI) _ DE , , _EHAB ~ Bl > c ' ~ 111 '

Ferner ist

EH

TS

I)C

BC’

also oder AB : AD = BC: CD,

AB BC 7

worin eben die harmonische Theilung von ABCD besteht. DerSatz selbst war ja nicht neu. Schon Äpollonius hat ihn in seinenKegelschnitten ITI, 37 ausgesprochen 1 ), aber der von uns berichteteBeweis gehört De la Hire an, und wenn Desargues gleichfalls desalten Satzes eingedenk war (Bd. II, S. G21), so ist dessen Fassungwesentlich undeutlicher und schwerer verständlich. De la Hire zogdann, und diese Erweiterung ist wieder sein volles Eigenthum, ausjenem Satze Folgerungen. Im XXVI. bis XXIX. Satze führt er denBeweis, dass die Berührungssehnen in einem Punkte sich schneiden,wenn die Ausgangspunkte der Paare von Berührenden auf einer Ge-raden liegen. Die Namen Pol und Polare hat De la Hire aller-dings noch nicht eingeführt. Er umschrieb jene Begriffe noch inähnlicher "Weise, wie wir es hier ihm nachgethan haben. Erst imXIX. Jahrhunderte hat Servois das Wort Pol in der hier gemeintenBedeutung eingeführt 2 ), und zwei Jahre später hat Gergonne dasWort Polare dem mathematischen Wortschätze einverleibt 3 ). Daszweite Buch überträgt die Eigenschaften des Kreises, welcher Basiseines Kegels ist, auf den durch eine den Kegel durchsetzende Ebenehervorgebrachten Kegelschnitt. Insbesondere wird gezeigt, wie einemPunkte, einem Winkel, einer harmonischen Theilung in der Grund-ebene Aehnliches in der Schnittebene entspreche, und der VI. Satz,von De la Hire seihst als Stützpunkt des ganzen Werkes bezeichnet 4 ),spricht aus, dass in jedem Kegelschnitte Durchmesser auftreten,welche je ein paralleles Sehnensystem halbiren. Die Uebertragungder Sätze vom Kreise auf irgend einen Kegelschnitt findet nun statt.Der XXI. Satz z. B. wiederholt den gleichbezifferten Satz des erstenBuches, von dem vorhin die Bede war, in der verallgemeinerten Auf-fassung. Das dritte Buch bringt eine Anzahl von Flächensätzen, dasvierte die Asymptoten. Im fünften Buche folgen Sätze über diegleichseitige Hyperbel, über die gemeinschaftlichen Ordinaten von

‘) Äpollonius Tergaeus (eil. Heiberg) I, 402. s ) Gergonne, Annalesdes mathcmatiqiies I, 337 (1810). 3 ) Ebenda III, 297 (1812). 4 ) Lcctorcm geo-

metram hie culmonitum esse volo totum hoc opus conicum huic inniti pn-opositioni.