Geschichte d. Mathematik. Klassikerausgaben. Infinitesimalrecbng. bis 170t. 203
antwortete am 24. Juni, er habe schon in clen ersten Jahren seinerUntersuchungen über höhere Geometrie sich mit der gleichen Aufgabebeschäftigt, und nun theilt er dem Freunde unumwunden mit 1 ), wasnachher in die A. E. eingerückt wurde, was also die Summe dessenist, was Leibniz damals gefunden hatte. Bernoulli’s Verfahren warvon dem Leibnizens etwas verschieden, wenn es auch naturgemässzum gleichen Ergebnisse führte, Grund genug für ihn gleichfalls sorasch als möglich an die Öffentlichkeit zu treten. Johann Bernoulli
setzte entweder den Bruch —, wo, wie wir heute sagen würden, r
und q ganze algebraische Functionen von x bedeuten, von welchen rmindestens um einen Grad niedriger in x als q ist, der Summe von
Brüchen a . , 4- u ■ - + • • • gleich, addierte dann diese auf ihrenGemeinnenner gebrachten Brüche, worauf die Coefficienten im Zählersowohl als im Nenner denen in -y in gleicher Weise proportionalsein müssen und aus dieser Eigenschaft gefunden werden können, oder
aber er nahm die Zerlegung von — in mehreren Stufenfolgen vor.
Er setzte zu diesem Zwecke — = 4—I- a .~,, wo s um einen Grad
q t 1 x+f>
niedriger als r und t um einen Grad niedriger als q angenommenwird. Die Vereinigung von ^ muss rückwärts mit ■— über-
einstimmen und so die \%rkommenden Coefficienten bestimmen lassen.
Dann ist ~ weiter zu zerlegen u. s. w.
Weder Leibniz noch Johann Bernoulli haben in diesen erstenVeröffentlichungen den Fall erwogen, dass der Nenner q auch Factorenvon der Form einer Potenz von x -f- f enthalten könne. Ihn betrach-tete Leibniz 1703 in den A. E. in einem Aufsätze, den er als Fort-setzung dessen von 1702 bezeichnete 2 ). Er zeigte dort, dass wenn
der Nenner des zu zerlegenden Bruches, der etwa wieder - heissen
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mag, von der Form q = h l lmnj) mit h — x -f- a sein sollte, derBruch nach den alten Kegeln in solche mit den Nennern /t 1 /, k l m,k l n, h l p zerlegt werden könne. Dann aber zerfalle der Bruch mitdem Nenner h' l l neuerdings in solche mit den Nennern A' 1 , /t 3 , /r,h, l u. s. w.
Um nicht genöthigt zu sein, später auf die Arbeiten von Leibniz