Geschichte d. Mathematik. Klassikerausgabeu. Infiuitesimalrechng. bis 1704. 271

accentuirter Buchstabe mehr vor. Algebraische Functionen werdendifferentiirt und die Differentiationsregeln bewiesen, wenn es uns ge-stattet ist, diese von Newton selbstredend nicht verwandten Wörterzu gebrauchen. Irrationalitäten werden dabei durch neue Buchstabenersetzt, und die dazu dienenden Hilfsgleichungen werden durch Boten-zirung rational gemacht, worauf die Differentiation erfolgt, welche dieDifferentiale der Hilfsgrössen ermitteln lässt. Die nächste Aufgabeverlangt quadrierbare Curven aufzufinden 1 ). Als Quadratur u derCurven, deren Abscisse z heisst, wird angenommen, wo

Ji = e fz n -|- <jz~" + hz Sn -f- • • ■ •

Alsdann ist

« = %- Z z ft - i R > - + Iz^RJC 1 = gt-'W-tl&eli + lzR\.

Aber R = nfgz "~ 1 -f- 2 ncjzz-“ — 1 -f- 3 nhzz in ~ l + ••• und folglich

ft 1 j — I J - -f— fr /> n

= z IC z[d-e +Xn fz

<JZ

-}-3^ n

h Z

-f- etc

:]■

Durch z=l ergiebt sich alsdann die Ordinate der quadrierbaren

Curve. Ist noch S—k- 1- lz n mz ln -|-, so kann auch u = z a R l S f ‘

als Fläche angenommen und die zur xYbscisse z gehörige Curvenordinateermittelt werden. Sie stellt sich dar als Product von z' 9 ~ 1 Ii l ~ 1 S fl ~ 1in eine nach Potenzen von z n fortschreitende Reihe. Die Regelnändern sich nicht im mindesten, wenn von den Exponenten ff, A, aeiner oder der andere aufhört ganzzahlig positiv zu sein, und dannist die Quadratur einer Curve gewonnen, deren Ordinate eine imZähler oder im Nenner auftretende Irrationalität enthält. Hierauf gehtNewton zur Umkehrung der Aufgabe in dem Sinne über, dass die

Ordinate einer Curve in der Gestalt z 9 ~ 1 R x ~ l \a -f- bz n -|- cz 2n -|-j

gegeben sein soll, woraus die Quadratur

z 9 R l \A + Bz* + Cz' in + Dz" 11 -]

gefunden werden muss. Der eingeschlagene Weg ist der, dass zu denQuadraturen Az^W, Bz' 9 + n R l , Cz' 9 + 3n R x , Dz 9 + 3n R x etc. entspre-chende Curvenordinaten gesucht werden, deren Summe alsdann mit

dem gegebenen Ausdrucke z 9 ~ 1 R l ~ *[« -f- bz n -j- cz- n -|-] in Ueber-

einstimmung gesetzt wird. So entstehen Gleichungen zwischen e, f,(j, h ... (den in R vorkommenden Coeftieienten) u, b, c ... und A, R,C ..., mittels deren A, B, C... gefunden werden. Das Verfahren er-fährt keine wesentliche Aenderung, wenn die Curvenordinate nocheinen weiteren Factor —1 einsc-hliesst. Im weiteren Verlaufe wirdR binomisch gedacht = e -f- fz", indem die Coeftieienten (/, h ... denWerth Null annehmen; ferner werden auch die Coeftieienten b, c ...

*) Opuncula Xetvtoni I, '21-2 sq. 2 ) Ebenda 1, 241—242.

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