Combi natorische Analysis. Wahrscheinlichkeitsrechnung.

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Eine nahe verwandte, im Jahre 1700 vor der Oetfentlichkeit hehandelte Aufgabe giebt uns die Veranlassung, die Leibnizische Ab-handlung grade hier zur Rede zu bringen. Bei ungedruckten Arbeitenist es ohnedies immer recht schwierig, den Zeitpunkt ihres Entstehenszu errathen, wenn nicht zufällig ein Datum beigefügt ist, ausserdemmeistens ziemlich gleichgiltig, wo man sie geschichtlich einreiht, essei denn, dass man aus ihnen für den Verfasser ein geistiges Erstlings-recht, oder mindestens die Unabhängigkeit seines Gedankengangessichern will. Die neue Erweiterung der Algebra trägt kein Datum.Innere Gründe lassen vermuthen, der Aufsatz sei nach 1695, vielleichtnach 1697 niedergeschrieben. Analytisches Rechnen mit Grössen, sagtLeibniz , sei nichts anderes als Combinatorik 1 ), und deshalb kommeviel auf eine zweckmässige Bezeichnung an, welche die combinatori -schen Entwickelungen unterstütze. Leibniz empfiehlt dazu die ihmseit 1696 geläufigen zweizifferig geschriebenen Coefficienten (S. 106).Mit ihrer Hilfe vollzieht er die Multiplication von Reihen von derGestalt

10+ 11 v + 12v*-\ -, 20 + 21 v + 22 v- + ■ • •,

60 + 61 v + 62 v- -\ -u. s. w.,

wo die erste Ziffer jedes Coefficienten angiebt, welcher Reihe er an-gehört, die zweite Ziffer, welcher Potenz von v er als Coefficientdient, im Producte besteht der Coefficient jedes Gliedes aus einerSumme, deren einzelne Glieder selbst wieder Producte je eines Coef'ti-cienten aus jeder Reihe sind, deren Auswahl nach dem Gesetze statt-findet, dass die zweiten Coefhcientenziffern der Eactoren die (ReicheSumme liefern, nämlich den Exponenten derjenigen Potenz von v,mit der man es gerade zu thun hat. Es kommt also auf die Zer-fällung dieses Exponenten in Theile an, wofür Leibniz den Kunst-ausdruck divulsiones gebraucht"). Leibniz kennt also hier diejenigenBildungen, welche man später Variationen zu bestimmten Sum-men genannt hat. Er bezeichnet das auftretende Gesetz als Homo-geneität, welche formal und virtual auftrete 3 ), formal insofern jedesGlied gleich viele Factoren besitze, virtual indem diese zu gleichemGrade sich erheben.

Wie die Multiplication von Reihen vollzieht Leibniz auch derenDivision. Bei ihr ordnet er nur Dividend, Divisor und Quotient nichtnach steigenden, sondern nach fallenden Potenzen der allgemeinenGrösse. Er vervielfacht sodann Divisor und Quotient, deren Product

*) Leibniz VII, Meperietur nihil aliud esse (alcutum circa magnitu-

dines Anulyticum, quam exercitium artis Cumhinaturiae. -) Ebenda V11, l(jä.3 ) Ebenda Vll, 1GS: lex homogeneorum tum furmalin . . .., tum rirtualir.

C.vntok, fieachichte der Mathematik. HI, 2 . 21