07. Kapitel.

d 2 z = d(Bdx) = B . d 2 x + dB . dx = />'. r/ 2 * + C'(tte)*,

7 3 2 = B . d 3 x -f- dB . d' 2 x -j- 2 ü . dx . d' l x -f- d C . (dx)’ 2= Bd 3 x + 3 Cdxd 2 x + B(dx) 3 ,

I. dH = Bd 4 x + dB . d 3 x + 3 Cdx . d 3 x + 3C(d‘ 2 x) 2 + 3 dCdxd-x-f- 37) (dx) 2 d' 2 x -j- dJDidxf = Bd 4 x -f- 4 (Jdxd 3 x -f- 3 C(d' 2 x)' 2+ GD(dx)*d s x + E(dx) 4 ,

Ist hierbei z gleichmässig veränderlich, mithin dz constant, so istd' 2 z = d s z — d i z = ■ • ■ = 0. Andererseits ergiebt sich, falls x alsdie gleichmässig Veränderliche gilt, aus den Definitionsgleichungenvon dz, dB, dC, dB, ..., dass

li — — r—- B — dH 7 ) — äC — dH F = dl) = —

dx } dx dx 1 ’ dx dx 3} dx dx 1

Hetzt man diese Werthe in das Gleichungssystem I ein, während dielinks vom Gleichheitszeichen befindlichen höheren Differentiale von zaus dem erläuterten Grunde verschwinden, so entsteht ein neuesGleichungssystem:

d 3 x -)- 3

dx . d 2 x

dx . d 3 .

d 4 x + 4

dx . d 2 x + d * a (dx) 3 ,

h d' 2 xf + 0

(dxy 2 d‘ 2 x

Dieses Gleichungssystem II führt zu d 2 x, d 3 x, d 4 x, ..., indem mandie aus benutzten Gleichungen des Systems gefundenen höheren Diffe-rentiale von x in die nächstfolgende Gleichung jeweils einsetzt. Taylorüberlässt dem Leser die umständliche Rechnung und begnügt sichdamit, die Ergebnisse auszusprechen:

d i z. dx

— d 3 z . dz . dx -f- 3 ( d*z) 3 dx

— d*z(dzydx -f-10 d 3 z . d'z . dz . dx - 15 ( d-z) 3 d.r

dz 3

III. [d 3 X =

d 4 x =

Zur Controle dividiren wir die drei Gleichungen des Systems III derReihe nach durch (dz) 2 , (dz) 3 , (dz) 4 und formen alsdann die rechtsentstehenden Brüche dadurch um, dass wir, wieder der Reihe nach,Zähler und Nenner durch (dx) 3 , (dx) b , (dx) 1 theilen. Wir erhalten sodie heute allgemein bekannten Formeln: