Differentialgleichungen.

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Es erscheint wünschenswerth <Pz und (Pz wegzuschaffen. Das ge-schieht mittels dz 2 = dx 2 -f- dy 2 unter Berücksichtigung des Um-standes, dass die Wahl von HK = KL — LI, welche vorherging,dy zu einer Constanten gemacht hat. Daun liefert die wiederholteDifferentiation jener Gleichung

dztPz = dxd'-x und dzd’z -f- (Pz 2 = dxcPx -f- (Px 2 .

Durch Benutzung dieser Gleichungen sowie von dz 2 — dx 2 = dy 2

erhält man dxdu'd'x'

rst — qsu = dy 2 <Px -f- dy 2 dPx -- —

(t z

, , u 72 . 2dxdy* d ! x !

qsu —ptu = dy‘ä‘x -\ -■ J t -

Jetzt rufen wir die Proportion des II. Satzes in’s Gedächtniss zurückund unterwerfen sie folgender Umformung:

O r"'

df : — dy = (rst — qsu) : (qsu — ptu)

dz- , , s dz 2 , s

= (U f \ rst — ! l su ) : yff* Visu —ptu)

= (dz 2 (Px + dz 2 (Px — dxdrx 2 ) : (dz 2 d 2 x -f- 2dxd 2 x 2 ).Das aber ist der IV. Satz. Der aus dem III. Satze entstehende V. Satz,dessen Ableitung wir übergehen dürfen, da sie der eben geführtenHechnung mit dem einzigen Unterschiede, dass jetzt bei der wieder-holten Differentiation von dx 2 -f- dy 2 = dz 2 das Bogenelement dz alsconstant gilt, durchaus nachzubilden ist, kleidet sich in die Proportiondf: — dy — ( dy 2 d 2 x + dy 2 iPx -f- dxcPx 2 ) : (dy 2 d 2 x — 2dxd 2 x 2 ).

Ein VI. allgemeiner Satz folgt. Seien zwei Grössen /' und ygedacht, deren zweite y die erste f um unendlich wenig iibertrilft;sei ausserdem F genau so aus f gebildet wie G aus y l ), sei fernerudF = lidf, adG = idy, so wird behauptet z = /< —(— dh. JakobBernoulli führt den Beweis an einem besonders gewählten BeispieleF = ya 2 -f- G =ya 2 <j 2 . Mithin ist

dF= fdf , dG = — y 4l..-

Viv+r- Vtp+o 1

Die Annahmen adF = hdf, adG = idy liefern

/, _ «/' • «sr .

V(P + r-’ Va' + g*

Denkt man sich eine Curve, deren Abscisse f einer Ordinate h ent-spricht, so wird der von f unendlich wenig verschiedenen Abscisse ydie Ordinate i entsprechen, und diese kann, weil sie der Ordinate hunendlich nahe liegt 2 ), von ihr nur unendlich wenig verschieden sein.

') ntrsimque aliae dune per lms simüiter cxpressae vcl datae F et G.! ) contiyua et proxima.