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100. Kapitel.

23. November 1715 schlug Bernoulli die Trajectorienaufgabe als ge-eignet vor 1 ), und im Deeember 1715 tlieilte Leibniz dem Freundeendlich mit, in welcher Form er die Trajectorienaufgabe an Contischicke 2 ). Kaum war der Brief in Johann Bernoulli’s lliinden, sobeantwortete er ihn am 15. Januar 17IG unter Einsendung einer Auf-lösung des besonderen Beispiels von den Hyperbeln 3 ), welche vonseinem damals 21jährigen Sohne Niclaus II. Bernoulli herrührte.Er machte zugleich auf die Nothwendijrkeit aufmerksam, ein sch wie-rigeres Einzelbeispiel auszuwählen als das der Hyperbeln, wozu eralsdann am 11. März Vorschläge machte 4 ). Der Aufsatz von Niclaus H.Bernoulli erschien 5 ) im Maihefte 1716 der A. E. und kommt aufFolgendes hinaus.

Sei (Figur 67) 0 der Mittelpunkt, A der Scheitel der HyperbelnAC, AI), AG, welche durch die Trajectorie CDG senkrecht ge-

schnitten werden, d. h. das Trajecto-rienelement CD steht senkrecht aufder Hyperbeltangente CF, und dasunendlich kleine Dreieckchen CSDmit den Katheten CS = — dy,SD = dx ist ähnlich dem DreieckFEC mit den Katheten FE = x

o

!■' A El'ig. 67.

und FC = y. Dabei wurde CS=‘—dy gesetzt, weil die Ordinateder Trajectorie abnimmt, während ihre Abscisse wächst. Daher muss

FE

V

sein, FE

xdxA ydydx

und

q jj' q x i d x + xydy

OF. OE =

dx

Bei der Hyperbel findet aber die Proportion statt OF: OA — 0A: OE.Demnach ist OF. OE = OA 2 = a~ und die Differentialgleichung

x-dx+xydydx

= u 2 , beziehungsweisedx = a 2 — — xdx.

der Trajectorie ist

x

Die Integration liefert

y- -j- b 2 = 2 a 2 log x — x l oder auch x 2 -f- y- + C 2 = log (x 2 “')und mit n als Grundzahl des Logarithmensystems = x' 2a '.

Nach dem jungen Niclaus II. Bernoulli trat Jakob Hermannim August 1717 in den A. E. mit einem Aufsatze über rechtwink-

*) Leibniz III, 949. -) Ebenda III, 952. s ) Ebenda III, 954. 4 ) Ebenda

III, 958. 6 ) Er ist aucli abgedruckt in Job. Bernoulli Opera II, 270—272.