Differentialgleichungen.

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lige Trajectoricn hervor, und schickte 1718 und 1719 noch Nachträgenach 1 ). Er stellte eine Kegel auf, welche er zwar nicht ahleitete,deren Begründung aber sehr nahe liegt. Sei Fix, y, c) = 0 die

Schaar der zu schneidenden Curven, welche durch die von einer Curvezur anderen ihren Werth ändernde Konstante c sich kennzeichnen.Hermann nannte dieses c den Modulus der Curven, während Leibinzes einst (S. 204) als Parameter der Curven benannt hatte. Dietrigonometrische Tangente des Winkels, den die Berührungslinie aneine geschnittene Curve mit der Abscissenaxe einschliesst, ist die ent-gegengesetzt genommene Cotangente des Winkels, den die Berührungs-linie an die Trajectorie im Schnittpunkte mit der Abscissenaxe bildet.cF

Ist daher y = — 5 *. die ersterwähnte trigonometrische Tangente, so

hat der zweitgenannte Winkel als seine Tangente. Anders aus-

cx

gesprochen besagt dieses: aus der Differentialgleichung der geschnit-c F c F

tenen Curve 7 dx -(-- - dy = 0 folge die Differentialgleichungc x c y

C £y dx = dy der Trajectorie, sofern die Gleichung Fix, y, c) = 0

der geschnittenen Curven noch Beachtung findet, um c zu eliminiren.Hermann drückte nun diese Vorschrift folgendermassen aus. Mansolle die Differentialgleichung der geschnittenen Curven

bilden; man solle in ihr dx durch dy und dy durch —dx ersetzen(v- dy — C }' dx — o); man solle aus der letzteren Gleichung c er-

mitteln und in die Curvengleichung (Fix, y, c) = 0) einführen, alsdannhabe man die Differentialgleichung erster Ordnung der Trajectorie.

In dem Hyperbelbeispiele ist die Ausführung folgende: — F — f

oder a 2 y 2 = c 2 (x 2c 2 =

oder ydy =

— a 2 ); a 2 ydy — <?xdx ; —

a ! ydx 2 a-ydx

xdy ’ Ct y xdy

irydx = c 2 xdy\(x 2 — a 2 )

— xdx, beziehungsweise durch Integrationx 2 + U 1 + b 2 = 2a 2 log x,

wie Nielaus II. Bernoulli gefunden hatte.

’) Hermann’s Aufsätze sind abgedruckt in Joli. Bernoulli Opera II,275 — 279 ; 279 - - 281 ; 299 — 305 .