Differentialgleichungen.
zu sein, ilas dazu bestimmt war, später eine Holle zu spielen. AberJakob Bernoulli ging weiter als das.
Seit Van Henraet (Bd. II, S. 842—843) wurde die Aufgabe derHectification nicht selten auf eine solche der Quadratur zurückgeführt,
d. h. man zeichnete, wenn j Xdx eine Curvenlänge darstellte, eine
llilfscurve y = X, deren Fläche jener Länge als Maass diente. Fürdie Integration als solche war damit natürlich gar nichts gewonnen,denn das Integral behielt seine Form, während es die Bedeutungwechselte. Ein sehr grosser Vortheil ergab sich aber durch Zeich-nung der Hilfscurve in dem besonderen Falle der parabolischen Spirale.Hier zeigte nämlich die Hilfscurve einen vollkommen symmetrischenVerlauf, wodurch sich beim blossen Augenschein die Gleichheit ge-wisser Flächenstücke, beziehungsweise verschiedener Curvenlängen,welchen jene Flächenstücke als Maass dienten, ergab, und Jakob Ber-noulli durfte den Satz aussprechen 1 ), es offenbare sich dadurch auchfür Curven, deren Länge nicht bestimmt werden könne, eine Gleich-heit von einander unähnlichen Bögen. In Zeichen moderner Integral-rechnung lautet der Satz für die parabolische Spirale
i y i 0~ — y)
iy-(r - y)
r r
r
Setzt man nämlich in dem links vom Gleichheitszeichen befindlichenIntegrale y = [- -f- z, in dem rechts vom Gleichheitszeichen befind-lichen y = z, so nehmen beide die gleiche Gestalt
Setzt man nämlich in dem links vom Gleichheitszeichen befindlichen
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dz an 2 ).
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Johann Bernoulli , damals noch auf dem besten Fusse mitseinem Binder stehend, warf im Augustheft 1695 der A. E. die Frageauf 3 ), ob man nicht im Stande sei, Curven zu finden, deren Summeoder Differenz sich durch einen Kreisbogen darstellen lasse, und be-antwortete sie bejahend. Sei (Figur 70) eine Curve ABC gegebenmit JJB als Berührungslinie im Punkte A. Diese DE wird als Be-rührende in Bewegung gesetzt, so dass sie nach und nach die LagenLB3I, IBm, zuletzt GCF (als Berührende an die ABC im Punkte C)
') unde patet, quod in eurvis etiam illis, quae rectificationem nondum accepe-nmt, nonnumquam partes aequules dissimilares assiynari possunt. *) Diese Formder Beweisführung benutzte Enneper in Note VII seines Werkes: ElliptischeFunctionen, Theorie und Geschichte. 3 ) Job. Bernoulli Opera I, 142—144.
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