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100. Kapitel.

arc AE -(- arc AF — arc A G = —

hxz

oder endlich arc All — arc GF =

hxz2 a“

Die Hyperbel dient Fagnano als Beispiel des zweiten Falles, ir

welchem = -,. 1 - „ + -,. 1 ,4- \ = 0 ist, und

fhx-z- fix- 1 flz 1 1 <jl ’

JA +J'z

xz ]/— h

Vö

nach sich zieht. Sei (Figur 73) AUF die Hyperbel mit der Glei-

chung „ —

ür

h r

b-

I c

A

D

Fig. 73.

Ihr Bogenelement ist dx~\/ ^ a ~t ^J x —- 4 —

° V a-x 1 — a 4

= 1.

Fagnano setzt a 2 -\- h 2 — ~ und erhält dadurch das

-j / _ «2 ^3

Bogenelement in der Form dx 1/ - welche

° r -2ax- —2«”

2a 3 , f = 2a,

xz }/— h

ah

mit X übereinstimmt, sofern l =

(j = — 2 a 3 gewählt wird. Das Integral

d

y<j

an.

nimmt also hier den Werth xz~\/ ,i „ =

r 2 a 3

und rechnet man die Hyperbelbögen von A an, nimmtCI) = x, CE == z, wo x und z mittels

xz}/ha }/-2 a

- ghx 2 — gl

fhx--\-(jh

,—; d. h. mittels z 2 =

a“hx* -f- 2n 6hx 2 — a s h

Zur

Zusammenhängen, so wird arc AE -f- arc AF — -I- K

8 «F2« ~

Ermittelung der Integrationsconstante K wählt Fagnano diesmal zwei

andere Abscissen Cd — t, Ce = n, wo u 2 = - J - ll und erhält so

1 ’ nt- — a-li

eine zweite Gleichung arc Ab -j- arc Af = —-f- K. Durch Ab-

a ]/2 a

ziehen der zweiten Gleichung von der ersten fällt K weg, und es

bleibt arc Ff — arc Eh — (xz — tu) • Er fügt die Bemerkung

ay- 2 a

hinzu, der eine der beiden Hyperbelbögen, etwa Ff, könne ganz be-liebig angenommen werden, worauf der andere bestimmt sei.

In späteren Aufsätzen von 1717 G. L. I. XXIX und 1720 G. L. I.XXXIII hat Fagnano noch weitere Differentialgleichungen mit Quadrat-wurzeln behandelt und gezeigt, dass = 0 mittels

y i— x* y i — z 1

x 2 -j- z 2 -f- x 2 z 2 = 1 und - ä —— H—— — . = 0 mittels

y i + a: 4 — yr+7 4