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104. Kapitel.

lungen sei; Stewart habe überdies einen anderen Beweis des X. Lem-mas in den zwei ersten Sätzen seiner General Theorems veröffentlicht.So Simson in seinen Ebenen Oertern von 1748, deren Herausgabeaber bereits 1741 beschlossen gewesen zu sein scheint. An derRichtigkeit von Simson’s Angabe ist nicht zu zweifeln, da sie mitdem Eingeständnisse Stewart’s in dessen Vorrede von 1746, etwazwei seiner Sätze seien nicht neu, sich deckt, und da sie überdiesniemals von Stewart in Abrede gestellt worden ist, wiewohl dieserauch noch 1763 ein weiteres rein geometrisches Werk kerausgab, vondem ausführlicher zu reden die gesteckte Zeitgrenze uns freilich nichtgestattet.

Sehen wir nun zu, wie Stewart in den ersten Sätzen seinerGeneral Theorems das Simson’sche Lemma beweist. Sei (Fig. 86)

um das Dreieck ABC ein Kreisbeschrieben und durch irgend einenPunkt B der Seite BC die AB ge-zogen und bis zum Durchschnitte Gmit dem Kreise verlängert. Sei Gmit B und C verbunden, BE || AC,BE || AB gezogen, AB nach K ver-längert, endlich von E aus die EHso gezogen, dass i AEII = AGB,beziehungsweise L AHE = ABG.Alsdann ist A AEH ~ AGB undfolglich BA ■ AE = GA ■ AH eineGleichung, welche Stewart in dieWorte kleidet, die Rechtecke BAE, GAH seien einander gleich 1 ).Ferner ist 2 B = EHB EHA = EHE -f- ABG sowie 2 B

= GCA + ABG, also [_ EHB = GCA. Da überdies /_ EBH

= GAC als Wechselwinkel an den Parallelen BE, AC, so ist

A EBH ~ GAC und AC • BE (= AC ■ AF) = AG ■ DH. Die

beiden Productengleichungen addirt geben BA ■ AE -(- AC ■ Al 1 '= AG ■ AH+ AG ■ BH = AG ■ AB = AB 3 + AB ■ BG = AB--f - BB ■ BC. In dem Wortlaute

BA -AE-j- CA- AF = AB- -f- BB ■ BC

des 1. Lehrsatzes kommen also nur noch der beliebige Punkt B derGrundlinie des beliebigen Dreiecks ABC und die Punkte E, F derSeiten AB, AC vor, in welche DE || AC und J)F || AB eintreffen.

*) Stewart, General theurems pag. 1—2: Therefore the rectungle BAE i.sequitl to the rectungle GA1I.

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