Element ar^eomet rische Einzeluntersuchungen.

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dessen Seite AE =

AB

TT

Sei ein beliebiger Punkt M des Halb-

kreises mit E und F durch Gerade verbunden, welche die AB inII und S schneiden, so ist HS' 2 -f- Bll- = AB*. Euler zieht von Maus durch A und B auch noch MB und M Q. Die Heimlichkeitder drei rechtwinkligen Dreiecke FEA, AMF, BEQ lässt erkennen,

dass FE ■ EQ = EA ■ BE - — EE*. Aehnliche Beziehungen müssen

zwischen den entsprechenden Abschnitten von AB stattlinden, d. h.es muss sein: 2AR ■ BS = RS*. Xun ist HS -f- BR = AB -j- RSund durch Quadrirung AS 2 -f- Bll 2 -f- 2AS ■ BR = AB* -f- -/AS' 2-j- 2AB ■ RS = AB* -j- 2 AR ■ BS -(- 2AB ■ RS. Durch Zerlegungzusammengesetzter Stücke in ihre Theile ist aber leicht ersichtlich,dass AB ■ RS -f- AR • BS = AS ■ BR, wo auch R und S auf derAB liegen. Mithin kann oben 2 AS-BR gegen 2AH-BS+ 2 AB ■ RS gestrichen werden, und es bleibt AS* -(- BR* — AB*.Auf diesen Satz, dessen Beweis wir wegen seiner ungemeinen Ein-fachheit wiedergegeben haben, lässt Euler einige andere folgen: denelementargeometrischen Beweis der Heronischen Dreiecksformel, eineneben solchen der Brahmagupta ’schen Formel für den Flächeninhaltdes Sehnenvierecks, endlich den seines eigenen Viereckssatzes. Wirhaben kaum noth wendig besonders zu betonen, dass Euler’s Beweisder Heronischen Formel keine weitere Verwandtschaft mit dem vonHeron selbst herrührenden zeigt, als dass bei beiden der dem aufseinen Flächeninhalt zu bestimmenden Dreiecke einbeschriebene Kreisvorkommt, dessen Halbmesser Euler sodann ermittelt, was Heronunterliess.

In dem gleichen Bande der Petersburger neuen Abhandlungenist ein trigonometrischer Beweis des Euler’schen Viereckssatzes vonGeorg Wolfgang Krafft enthalten 1 ). Erinnern wir uns, dassKrafft seit mehreren Jahren in Tübingen, wie Euler in Berlin war,so sehen wir, dass die Mitglieder der Petersburger Akademie ihr inder Ferne treu blieben und Manuskripte zum Druck einschickten.Krafft’s Beweis, von dem wir hier reden, besteht in wiederholter An-wendung des Satzes, dass das Quadrat einer Dreiecksseite gleich derSumme der Quadrate der beiden anderen Seiten weniger dem doppeltenProducte jener Seiten in den Cosinus des von ihnen gebildetenWinkels ist. Im Anschluss an den Euler’schen Vierecksatz bewiesKrafft auch den Lehrsatz von Cotes (S. 394) für die Sonderfälle2A = 4, 2A — ü, 21 = 8, eigentlich ein recht überflüssiges Be-

') Novi Cominentarü Academiae Petropolitcniae ad annum 1747 et 1748.T. I, 131—136.