Elementargeometrische Einzeluntersuchungen.
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haben. Dort ist gelegentlich 1 ) von A sin ^ die Rede mit demZusatze, er verstehe darunter den Arcus im Einheitskreise, dessensiuus sei. In einer Abhandlung des Jahrgangs 1744 der Nova
Acta Eruditorum 2 ), der Fortsetzung der früheren A. E., spricht Eulerbei Gelegenheit der Integration einer Differentialgleichung von demarcus, cujus tangens — t, seuAtagt, 3 ) und zwei Seiten später heisstes: Ponatur A tag t = 00° — cp, ut eorprimat cp angulum ADM, crit
t = cot cp = - cf- 1 4- t- = : 4 ) und damit war auch der Arcus-
sin cp sm cp 3 ■
tangens wie früher der Arcussinus erklärt. Von durchschlagendemErfolge war jedoch erst eine Abhandlung Euler’s von 1753, welchewir deshalb als die zweite in diesem Kapitel zu nennende trigono-metrische Abhandlung bezeichnen, die PrincijKS de Ja trigonometriespherique tires de Ja methode des plus grands et des plus pefits 5 ).
Euler’s Grundgedanke ist folgender. Auf der Kugeloberfläehesind die Bögen grösster Kreise die kürzesten Linien, welche voneinem Punkte nach einem anderen gezogen werden können, oder einvon einem Punkte der Kugeloberfläche nach einem anderen gespannterFaden nimmt die Gestalt eines Bogens eines grössten Kreises an.Ein sphärisches Dreieck besteht aber aus Bögen grösster Kreise, undes kann daher als die Figur mit drei Eckpunkten auf der Kugel-oberfläche definirt werden, welche aus den kürzesten auf der gleichenOberfläche möglichen Verbindungslinien jener Eckpunkte besteht.Gewinnt man aus dieser Definition, welche zur Anwendung der Me-thode grösster und kleinster Werthe herausfordert, Beziehungenzwischen den Seiten und Winkeln des Dreiecks, so wird man damitdie allgemeinste Trigonometrie schaffen, welche man überhaupt denkenkann. Sie wird zur ebenen Trigonometrie, wenn die Kugeloberflächemit einem unendlich grossen Halbmesser beschrieben zur Ebeneentartet, zur sphäroidischen Trigonometrie, wenn statt der Kugel-• Oberfläche die Oberfläche eines Sphäroids gewählt wird, und in derThat hat Euler dem Aufsatze, von welchem hier die Rede ist, un-mittelbar einen zweiten: Elemens de la trigonometrie sphero'idique s )
') Commentarii Academiae Pctropolitanac ad annum 1737. T. IX, 209:
A sin ^ denotat arcum cujus sinus est ~ in circulo radii 1. *) Nova A. E.
1744 pag. 315—330. s ) Ebenda pag. 325. 4 ) Ebenda pag. 327. 6 ) Histoirede VAcademie de Berlin. Annee 1753 pag. 223—257. Eine deutsche Ueber-setzung von E. Hammer erschien als Heft Nr. 73 von Ostwald's Klassikernder exacten Wissenschaften. ®) Histoire de VAcademie de Berlin. Annee 1753pag. 258—293.