Algebra bis 174").

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ohne sich der Differentialquotienten zu bedienen. Ahmen wir ihmdarin nicht nach, sondern schreiben wir so, wie es gegenwärtig ge-bräuchlich ist, und wie es Maclaurin mit Fluxionspünktchen auchhätte thun können, so ist:

Hbf/l = <t>ie> + <t)'(c) ■ y + ■ y- H-b ^ -y r - 1—•

Nun sei <buc) = (x — a) (x — 1>) (x — c) ■ ■ ■ und werde, währendK < L und beide reell sind, negativ durch x = K, positiv durchx = L. Das kann nur so erfolgt sein, dass von den Factoren K — a,L — a oder K — l>, Ij — b oder K — c, L — c u. s. w. mindestenseiner das entgegengesetzte Zeichen besitzt als der ihm entsprechende,dass also z. B. K — h negativ, L — b positiv ausfällt, d. li. K< b <^List. Man besitzt also K und L als Wurzelgrenzen, zwischen welchenmindestens eine Wurzel x = b liegt, und dieses b muss, fährt Mac-laurin fort, reell sein. Complexe Wurzeln kommen, sagt er, paar-weise vor-, neben x — »i — ]/— n 1 muss auch x — m -|- Y — n 2 einFactor von cp(x) sein, also auch deren Product (x—ni f -f- n~, unddieses ändert sein Zeichen nicht, mag x = K oder x = L gesetztwerden.

Maclaurin kehrt jetzt zu <b (x) = Y ( y) = <t> (e) -{- d>'(e) • y+ ^ ■ ?/" + •■■ = ** zurück unter Berücksichtigung einer Grössen-

ordnuug unter den Wurzeln von cp (a;) = 0, sodass etwaSetzt man das an sich beliebige e = a, so wird <t>(«)=0, undY (y) = 0, deren Wurzeln u — c, b — c, c — e, d — e • • • jetzt a — a = 0,b — «, c — a, d — a ■ ■ • sein werden, geht nach Weglassung des ge-meinsamen Factors y in <P'(«) -f- <t> "(a)y ■ ■ ■ — <> über, welche

nach y nur noch vom Grade n — 1 ist und erfüllt werden muss,wenn y = b — «, y — c — «, y — d — u • • ■. Dabei ist (wenn etwaals bestimmtes Beispiel jj = 4 gewählt wird) in der nach y nochkubischen Gleichung <t>'(«) -(- 0 <$>"(a)y -f- ^ -f- y :> = 0 der

y nicht mehr enthaltende Gleichungsteil $'(«) das negative Productder noch übrigen Wurzelwerthe b — «, c — «, d — a. Mau hat alsoO'(cf ) = —■ (b — «) (c — a) (d — a ) negativ wegen a < b < c < d.

Wird in Hbf/) = 0 ferner e = b, e = c, e — d eingesetzt, soentstehen noch drei weitere nach y kubische Gleichungen mit von yfreien Gliedern, deren Vorzeichen bekannt sind:

< t ) ' (7 ') + 1 <*>"(% + | <$>"\b)y 2 + y :) = 0

^'(c) + l d>"(c)y + | <&"'(c)y--\- //"=(>

^'(X 1 + 4 ^"('0 y + l + y 3 = o

Castor, Geschichte der Mathematik. III, 3.

SG