Algebra bis 174">.

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Name Resolvente ist allseitig angenommen worden. Für dieGleichungen 2 ton , 3 teu , 4 ten Grades ist der Gedankengang folgender.Für x 1 = a ist z = n die Resolvente, und x, = -j- ]/«, x., = — Y asind die Gleichungswurzeln. Ein Glied ersten Grades nach x kannals weggeschafft gedacht werden, da man jede Gleichung von ihremzweithöchsten Gliede befreien kann.

Deshalb heisst auch die allgemeine kubische Gleichung x 3 =ax-\-b.Zum Zwecke ihrer Lösung nimmt Euler als Wurzel x = YA YBan. Durch Erhebung auf die 3. Potenz entsteht x 3 — A B+ 3 YA11 (Ya + YTi) = 3 YA B • x + (A. -|- B). Uebereinstimmungmit x :! = ax -(- b findet statt, wenn '&YÄB = a und A -j- B = b,oder wenn A und />’ die beiden Wurzeln der quadratischen Resolvente

z 1 — bz — sind. Euler giebt dann neben der Wurzel = YA -j- YB

die beiden anderen Wurzeln x. 2 — g j/vi-|-vj/J3 und x 3 = v YA-\-u Y Ban, wo g ■ v — 1 und g, v die von 1 verschiedenen dritten Einheits-wurzeln sind.

Bei j a = ax 2 -j - bx c setzt Euler x = YA -j- j//>’ -f- j/ C mitder Annahme, A, B, C seien die Wurzeln der kubischen Resolventez 3 = uz~ — ßz y, wo also a — A -}- B -(- C ', ß — AB A C -f- BC,y = ABC sein muss. Quadrirung von x = j/A liefert

x 2 = A + B + C + + 2 YAÜ + 2YBC = a + 2(]/yl7)'

+ y.4C'+ YBC). Quadrirung von x 2 — a = 2(j/.-l 11 -j- ]/.l C-\~Y BC) liefert sodann x 4 — 2«x 2 -(- ß 2 = 4 (AB -|- AC -(- BC)+ SYAlR’iYA + Y-B + yc) = 4/3 + SxYr oder x 4 = 2« • x 2-f- 8]/g-x + (4/3 — er). Das ist die vorgelegte Gleichung, wenn '2 a— a,8 Yr = l>, 4/3 — « 2 = c oder a = |, ß = | y = ~ ist. Die

Resolvente heisst also z 3 — 1' z 1 — 4C re. — 2 + t,, und ihre dreiWurzeln A, B, C geben die vier Werthe: x 1 —YA -)- j/13 -(- ]/C,

x 2 = YA — Yb — yc, x s = -Ya + Yb — yc, Xi = -YÄ-

YB -f- YC. Daneben zeigt Euler, dass man auch eine kubischeResolvente mit den Wurzeln E, F, G zu bilden im Stande sei, sodassx = YE -j- YB + Y~G die vorgelegte Gleichung befriedige.

Das giebt ihm die Vermuthung, es müsse zu jeder vom zweit-höchsten Gliede befreiten Gleichung x n = ax n ~ 2 -f- bx n ~~ 3 -f- cx n ~ i -{-■■■eine Resolvente z”- 1 == az n ~ 2 — ßz n ~ 3 + yz n ~ l — ••• geben, zu

welcher man mittels einer Substitution x = YA -f- YB -f- YY -j- • ■ •gelange, welche x als Summe von n — 1 Wurzelgrössen n ter Ordnung

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