Algebra seit 1746.

581

so spricht Euler davon mit keiner Silbe. Wir möchten glauben, erhabe D’Alembert’s Schlüsse nicht für zwingend gehalten und dochden schwachen Punkt in ihnen nicht aufzudecken vermocht, deshalbhabe er, ohne ein Wort des Lohes noch des Tadels für diesen Theilder Arbeit von 1746, versucht, eine andere seiner Meinung nacheinwandfreie Beweisführung an deren Stelle zu setzen.

Urei Sätze 1 ) sind in geometrischer Gestalt vorgetragen. EineCurve ?/ = a; 2m + 1 -j-Ax im -{- Bx im ~ 1 -f- Cx 2m ~-- f- (- N mit ganz-zahlig positivem Exponenten m und reellen Coefficienten A, B, Ü • • • Nhat bei jedem reellen Werthe der Abscisse x einen und nur einenreellen Werth von y. Bei x= oo wird y = co, bei x —— oc wirdy = — oo. Die Curve liegt also auf der positiven Abscissenseiteim Unendlichen oberhalb, auf der negativen Abscissenseite im Un-endlichen unterhalb der Abscissenaxe. Die rechts und links in dieUnendlichkeit sich erstreckenden Curvenzweige stehen aber in stetigerVerbindung 2 ), die Curve muss also die Abscissenaxe einmal odermehrere Mal schneiden, und wenn mehrere Mal, so muss die Zahl derSchnittpunkte, in welchen y = 0 ist, ungrad sein. Folglich haterstens die Gleichung a; 2m + 1 -f- Ax 2m -j- -)- N= 0 jedenfalls eine

reelle Wurzel, vielleicht eine grössere, dann aber ungrade Anzahl von

solchen. Die Curve y = x 2m -f- Ax -"‘~ 1 -(- Bx 2m ~~ -)- Gx 2m ~ 3 -(-1 - N

dagegen liefert y = oc sowohl wenn x = oo als wenn x = — oo.Ihre unendlichen Zweige liegen rechts wie links oberhalb der Ab-scissenaxe, und die Curve schneidet die Abscissenaxe in einer gradenAnzahl von Punkten oder gar nicht. Mithin hat zweitens dieGleichung x im -)- Ax ' 2n ‘~ 1 -f- • • • -}- X — 0 eine grade Anzahl vonreellen Wurzeln oder gar keine. Ist die Constante A wesentlich ne-gativ, etwa A r = — 0 J , und fragt man nach der Gestalt der Curvey = x im -f- Ax 2m ~ l -f- • • • — O 2 , so ist, wie wir soeben zeigten,y = oc, sowohl wenn x = oo als wenn x = — oc. Bei x — 0 isty = — O 2 d. h. die Curve befindet sich unter dem Coordinaten-anfangspunkte, dann aber im Unendlichen sowohl rechts als linksoberhalb der Abscissenaxe, die Curve muss daher die Abscissenaxesowohl rechts als links vom Coordinatenanfangspunkte mindestenseinmal schneiden, d. h. drittens die Gleichung x' lm -f- Ax im ~ 1 -)- ■••— ()- = 0 hat mindestens eine positive und eine negative Wurzel.

Gegen diese Sätze, welche Euler selbst im I. Bande seiner Intro-ductio in dessen 2. Kapitel schon in analytischer Erörterung aus-

l ) Histoire de l’Academie de Berlin. Annee 1749. pag. 232—235. *) Cette

brauche [de la courbe audessoua de Faxe] etant continue arec l’autre situee

audessus de l’axe.