108. Kapitel.

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erscheinenden Gebilde sind dieser Erläuterung zufolge 0 und n — 1,die Indexsumme 0 -f- (n — 1) = n — 1. Kann die Figur vom Indexn — 1 auf q Arten in Dreiecke zerlegt werden, so sind, weil linkseine weitere Zerlegung nicht stattfindet, für das ganze (n -(- 2)-Eckq Zerlegungen vorhanden, so oft ABC eines der gebildeten Dreieckeist. Nun ziehe man AI) und Bl), betrachte also ABI ) als einesder gebildeten Dreiecke. Links bleibt von der ganzen Figur dasDreieck ACI) mit dem Index 1 übrig, rechts ein n-Eck mit demIndex n — 2, die Indexsumme ist 1 —|— (« — 2 ) = n •— 1. Kann dieFigur vom Index n — 2 auf p Arten in Dreiecke zerlegt werden, sosind, weil abermals links eine Zerlegung nicht stattfindet, für dasganze (n -(- 2)-Eck p Zerlegungsarten vorhanden, so oft ABI ) einesder gebildeten Dreiecke ist. Schiebt sich die Spitze des durch zweiDiagonalen über AB gebildeten Dreiecks abermals weiter nach rechts,so bleibt links ein Viereck vom Index 2 mit 2 Zerlegungsarten,rechts ein (n — 1)-Eck vom Index n — 3 mit etwa o Zerlegungs-arten, und da die Zerlegungen links und rechts von einander unab-hängig sind, so giebt es 2o Zerlegungsarten mit dem hier beschrie-benen Dreiecke. Die Thatsache, dass hier ein Product 2o auftritt,macht es wünschenswerth, auch den Zahlen q und p die Producten-forrn 1 -q und 1 p zu geben, oder mit u = 1, b= 1, c—2 diedrei Producte aq, bp, co erscheinen zu lassen, wo die einander ver-vielfachenden Factoren die Zerlegungszahlen der links und rechts vondem über AB gezeichneten Dreieck übrigbleibenden Figuren sindund 1 als die Zerlegungszahl der überhaupt unzerlegbaren mit demIndex 0 behafteten Seite gilt, um die Gleichmässigkeit der Formel-glieder herzustellen. Welcher Punkt des Vielecks daher als Spitzedes mit AB als Grundlinie hergestellten Dreiecks gewählt wird,immer erscheint die Anzahl der alsdann möglichen Zerlegungsartenin Gestalt eines Productes wie aq, bp, co d. h. in Gestalt des Pro-ductes der Zerlegungsarten solcher Figuren, deren Indices sich zun — 1 ergänzen, und die Summe aller Producte aq -\- bp + co -f- •••liefert die Anzahl der Zerlegungsarten, welche voraussetzen, dassein Dreieck die AB zur Grundlinie habe. Bei jeder überhauptdenkbaren Zerlegung muss aber ein Dreieck mit AB als Grund-linie Vorkommen, also ist aq -f- bp -f- co -)- • • • die gesuchte An-zahl. Ihre Bildung vereinfacht sich durch die Erwägung, dass einerFigur mit dem Index k eine andere mit dem Index n — 1 — kgegenüberliegt, mag sich die erstere links, die zweite rechts von demDreiecke über AB befinden oder umgekehrt, dass also Producte wieaq, bp, co je zweimal symmetrisch am Anfang und am Ende derEntwicklung Vorkommen. Alle diese Producte paaren sich ab, d. h.