Euler's Differentialrechnung.

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ponenten unbedingt giltig voraus und findet von ihm aus d(x n )= nx n ~ * 1 dx, wovon er dann bei der Differentiation verwickeltererFunctionsformen Gebrauch macht. Er kommt dabei zu dem bedeut-samen Satze 1 ), dass man bei Aufsuchung des Differentials einerFunction das Differential eines jeden Theiles so nehmen solle, alswenn nur dieser Theil veränderlich und die übrigen alle beständigeGrössen wären, worauf man alle gefundenen Differentiale zu einerSumme zu vereinigen habe. In heutiger Redeweise entspricht diesemSatze die Regel, dass das totale Differential einer Functionsich aus der Summe ihrer partiellen Differentiale zusammen-setze. Der Satz wird z. B. auf die Differentiation von p> angewandt 2 ),später auf die Differentiation von Functionen mehrerer Veränderlichen 3 ),und wir finden auch ein erstes Symbol partieller Differentiation

mittels Einklammerung. Euler schreibt (^), um den partiellenDifferentialquotienten von Q nach x zu bezeichnen 4 ), also für dasheutige —■ Innerhalb des 7. Kapitels erscheint der hochwichtige

Satz 5 ), der sich unter dem Namen von Euler’s Satz von denhomogenen Functionen eingebürgert hat. Ist V eine Functionvon x und y und dV = Pdx -f- Qdy, so muss zwischen P und Qeine gewisse Beziehung obwalten. Wäre z. B. V eine Function vonx und y von der Dimension 0, so muss, mittels y = tx, die Ver-änderliche x gänzlich aus V verschwinden, und nur t noch in derFunction übrig bleiben, die alsdann T heissen soll. Dann istdT = Qdt und 0 eine Function von t. Aus y = tx folgt fernerdy = tdx + xdt, also Pdx + Qdy = (P -(- Qt)dx -f- Qxdt = Qdt,

d. h. P + Qt = 0, Q = — y = — - x , beziehungsweise Px -(- Qy = 0

c u

neben 0 = Qx. Weil aber 0 weder x noch y enthält, oder nullterDimension nach diesen Veränderlichen ist, muss auch Qx nullter Di-mension nach x und y sein, und mit Hilfe von Px -j- Qy = 0 ( ebender oben als nothwendig bestehend angekündigten Beziehung zwischenP und Q ) erkennt man leicht, dass auch Px und Qy nullter Dimensionnach x und y sein müssen. Die mehrerwähnte Beziehung Px -f- Qy = 0merkt sich Euler in der Weise, dass, wenn in d V = Pdx -f- Qdydie Grössen dx und dy durch x und y ersetzt werden, das Nullfachevon V entsteht. Ist ferner V eine Function von x und y von derDimension n, und setzt man auch hier y = tx, so geht V in Tx n

•) Euler, Differentialrechnung I, 146, § 170. s ) Ebenda I, 164, § 189.8 ) Ebenda I, 183—185, §213—215. 4 ) Ebenda I, 197—198, § 231. 6 ) Ebenda

1, 186—192, § 217—225.