Euler’s Differentialrechnung.

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aber hier die wahren Differentiale von V und Q wählen, weilnur dann, d. h. wenn man weiss von welcher Kleinheitsordnung dP

und dQ ist, der Werth von ((( j richtig ermessen werden kann. Nach

mannigfaltigen Beispielen, bei welchen auch wohl wiederholte Differen-tiation des Zählers und des Nenners nöthig fällt, geht Euler zu den

Formen 0-oo, cc — oo über 1 ), deren Auswerthung er, so viel

uns bekannt ist, zuerst lehrte.

Auch im 10. Kapitel, Von der Differentiation der inexpli-cablen Functionen, und im 17. Kapitel, Von der Interpolationder Reihen, spielen die sogenannten wahren Differentiale eine Rolle.

Inexplicabel heisst für Euler eine Function wie 1 -f- ^ -f- i -f~ • • •+ 7» die zwar von x abhängt, aber auf keine Weise entwickelt

x

werden kann, wenn x keine positive ganze Zahl bedeutet. Um siezu differentiiren muss gleichwohl ein auf das x ie Glied X (in dem

erwähnten Sonderfalle ) folgendes Glied Z ermittelt werden, welches

mit dem Stellenzeiger x -f- dx versehen ist, und welches sich alsZ=dS zu erkennen giebt, wenn S'= A -j- B-\- C —f— • • ■ -(- X die in-explicable Function und S -j- dS = A-\-B-\-C-\-----\-X-{-Z ihrnächster Werth ist. Die in der Ueberschrift des 17. Kapitels ge-nannte Interpolation nimmt gleichfalls eine aus x Gliedern bestehendeReihe S=A-\-B-\-C-\-----\-X an und sucht deren Glied mitdem Stellenzeiger x -f- w, wo co ein echter Bruch ist.

Das 18. Kapitel, Von dem Gebrauche der Differential-rechnung bei Auflösung der Brüche, endlich lehrt die Zer-legung in Partialbrüche ausgehend von der einfachsten Aufgabe: den

p

Partialbruch ^ der Zerlegung von zu linden, wenn Q =

{f-\-gx)S und S den Factor f -f- gx nicht mehr enthält. Sei

V — 91 S

so folgt V

und da V eine ganze

f+ gx

t + gx

Function sein muss, so ist nothwendigerweise P— 3t S durch f-\-gx

theilbar, d. h. fgx = 0 oder x = —- macht P —31# = 0.

p ^ x-

Daraus folgt aber, dass 3t = , wenn in diesen Bruch x = — —

eingesetzt wird. Zuverlässig ist 4 ^ 9

° ° S S(f + gx) Q

1 ) Euler, Differentialrechnung III, 192—195, § 302—304.

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