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115. Kapitel.

einer Curve 2 teu Grades gegeben sind, der Quotient aus dem Pro-ducte der Abschnitte der einen Sehne getheilt durch das Product derAbschnitte der anderen Sehne hei beiden Paaren der gleiche seinmuss, und dieser Satz bildet nach Euler die zweite Haupteigenschaftder Curven 2 ten Grades. Betrachtet man einen Durchmesser CD(Fig. 128 ) als die eine Sehne und wählt sie zugleich zur Abscissen-axe mit (J als Anfangspunkt, nimmt man ferner die BerührungslinieCK in V zur Ordinatenaxe und betrachtet eine ihr parallele Sehne

MN als die von CD in L geschnittene, so ist ^ von con-

stantem Werthe, der etwa ~ heissen mag. Nun sei CD — a die

Länge des Durchmessers bis zu seinem zweiten Durchschnitte mitder Curve, CL — x, also LI) = u — x, MIj = LN = y, so er-scheint y~ = (ax — x 2 ) als Gleichung der Curve 2 len Grades. An

einer späteren Stelle wird ?/ 2 — a -\- (ix -f- ys? als Gleichung irgendeiner Curve 2 tcn Grades, bezogen auf einen Durchmesser als Abscissen-axe und die durch ihn halbirten Sehnen als Ordinaten, gefunden,weil in diesem Coordinatensysteme zu jedem x zwei gleiche einanderentgegengesetzte y gehören müssen, weshalb in der Curvengleicbungdie erste Potenz von y nieht Vorkommen kann. "Wir würden überdas ganze Kapitel Satz für Satz berichten müssen, wollten wir Allesangeben, was Euler an merkwürdigen, wenn auch an sich nicht neuen,doch meistens in neuer Weise hergeleiteten Ergebnissen in ihm vereinigt hat. Wir erwähnen nur in aller Kürze den Nachweis desVorhandenseins zweier zusammengehöriger Durchmesser, eines Mittel-punktes, zweier rechtwinklig zusammengehöriger Durchmesser, endlichzweier Punkte auf dem grösseren Hauptdurchmesser, welche sym-metrisch zum Mittelpunkte liegend die von Euler zuerst als Definitionbenutzte Eigenschaft besitzen, die von ihnen bis zum Durchschnittemit der Curve gezogenen Strecken rational durch die auf dem Haupt-durchmesser selbst gemessenen Abscissen jener Durchschnittspunkteausdrücken zu lassen, und welche Brennpunkte heissen.

Das G. Kapitel, Von den Arten der Linien 2 teu Grades, stehtdem 5. an Eigenartigkeit und Neuheit der Behandlungsweise keines-wegs nach. Aus der allgemeinen Gleichung y- = a + ßx + yx 2 ,welche man, da sie nur zwei zusammengehörige Durchmesser alsCoordinatenaxen voraussetzt, durch Wahl eines Hauptdurchmesserszur Abscissenaxe auch als auf ein rechtwinkliges Coordinatensystembezogen betrachten kann, folgert Euler ein wesentlich verschiedenesAussehen der Curve, je nachdem y positiv oder negativ oder Null ist.Bei y > 0 besitzt die Curve vier ins Unendliche fortlaufende Aeste,