Analytische Geometrie 1740—1748. Maclaurin. Euler's Introductio, Band II. 781

weil sowohl x — oo als a; = — <x> zu ?/ = + co führt. Bei y < 0besitzt die Curve keinen Punkt im Unendlichen, weil y imaginärwird, wenn x = + oo. Bei y = 0 besitzt die Curve zwei ins Un-endliche fortlaufende Aeste, weil y = + oo wird, wenn ßx im Un-endlichen positiv ist, während y imaginär ist, wenn ßx im Unend-lichen negativ ist. Die drei Curvenarten werden Hyperbel, Ellipse,Parabel genannt, und nunmehr hat Euler das Recht erlangt, sie ein-zeln jede für sich zu betrachten, was in der Reihenfolge: Ellipse mitdem Kreise als Sonderfall, Parabel als Ellipse mit unendlichgrosserAxe, Hyperbel mit ihren beiden Asymptoten geschieht. Die Tangenten-eigenschaften ergeben sich aus im 5. Kapitel bereits ermitteltenGleichungen. Von den Merkmalen, welche sonst zur Unterscheidungder drei Curvenarten gebraucht werden, und die sich unter Annahmeder Gleichungsform ay 2 -j- ßxy -(- yx 2 -j- öy -f- bx -f- £ = 0 auf dieWerthe von ß 2 — 4 cty beziehen, ist hier noch nicht die Rede.

Das 7. Kapitel, Von den ohne Ende fortlaufenden Aesten,füllt diese Lücke aus, und zwar von einem Gesichtspunkte, derweit über die Curven 2 ten Grades hinausreicht. Euler betrachtet dieallgemeinste Curve w tCD Grades, deren Gleichungspolynom in n -j- 1Gruppen zerfällt, in deren jeder solche Glieder vereinigt sind, welchedie beiden Veränderlichen zusammen in gleicher Dimension aufweisen.Die höchste Gruppe wird also sein P = ay n -(- ßy n ~ 1 x -j- yy n ~ 2 x 2-j- • ■ • -j- %x". Die zweithöchste Gruppe soll Q, die dritthöchste liu. s. w. heissen, die Gleichung selbst also F -j- Q -{- li -f- S -|- • = 0.Nun kann P theils aus reellen einfachen Factoren, theils aus Factoren2 lcu Grades A 2 y 2 — 2ABxy cos q> -f- 13 2 x 2 bestehen, welche letzterenur in imaginäre einfache Factoren zerfallen. Dass P ausschliesslichsolche Factoren 2 len Grades besitze, verlangt ein grades n, mindestensn = 2. In solchem Falle kann die Curve keinen Punkt im Unendliehen besitzen, denn mag x=oc oder y = co oder x=oo und y = oogesetzt werden, immer ist — 2Allxy cosip kleiner als das wesent-liche positive A 2 y 2 -f- Jf 2 x 2 , so dass der betreffende Factor unterjenen Annahmen oo 2 wird und mit ihm auch P unendlichgross werdenmuss. Gegen P verschwinden aber die Gruppen von niedrigerer Ab-messung Q -(- 11 -f- 6’’ , und die Curve kann, wie vorausgeschickt

wurde, keinen Punkt im Unendlichen, also auch keinen ohne Endefortlaufenden Ast besitzen. Bei n = 2 ist P = ay 2 -f- ßxy -)- yx 2 ,

und dessen beide einfache Factoren ay -f- y (ß + Vß ' 2 — 4 ay) undy -f- (ß — Yß 2 — 4 -ay) sind imaginär, wenn ß 2 — 4ay <0. Darin

besteht also das Merkmal für die nur im Endlichen verlaufende Ellipse.Nun besitze zweitens P ausser dem aus lauter in grader Anzahl